Grundbegriffe
Ereignismenge Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments fasst man als Ereignismenge zusammen. Elementarereignis Ein Element der Ereignismenge wrid als Elementarereignis bezeichnet.
Ausführliche InfosAutor: kirchner
Determinante
Die Determinante ist eine eine reelle Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet werden kann. Liegt eine quadratische Matrix A vor,
Ausführliche InfosZeilenstufenform
Die Zeilenstufenform wird auch einfach Stufenform oder Treppenform genannt und ist eine von vielen Formen, die Matrizen annehmen können. Im
Ausführliche InfosInverse einer Matrix
Die Inverse einer Matrix wird auch Kehrmatrix genannt und ist eine quadratische Matrix, die mit der Ausgangsmatrix multipliziert die Einheitsmatrix
Ausführliche InfosTransponierte Matrix
Eine transponierte Matrix wird auch gespiegelte oder gestürzte Matrix genannt. Man erhält sie durch Vertauschen der Zeilen und Spalten einer
Ausführliche InfosMultiplikation von Matrizen
Auch Matrizen können miteinander multipliziert werden, wodurch als Produkt eine neue Matrix entsteht. Die Elemente des Produkts werden bestimmt, indem
Ausführliche InfosSkalarmultiplikation
Multipliziert man eine Matrix A mit einer reellen Zahl k, wird dieser Faktor k auch als Skalar bezeichnet. Der Rechenweg
Ausführliche InfosAddition und Subtraktion
Generell lassen sich Matrizen nur addieren und subtrahieren, wenn ihre jeweilige Anzahl an Zeilen und Spalten übereinstimmt. Wir verfahren hier
Ausführliche InfosDefinition einer Matrix
Unter einer Matrix (Mehrzahl: Matrizen) versteht man eine rechteckige Tabelle von Elementen mathematischer Objekte. Diese mathematischen Objekte sind meist Zahlen,
Ausführliche InfosKurvenschar berechnen Kurvendiskussion
Eine Kurvenschar ist zunächst nichts anderes als eine normale Funktion, bei der die Ordinate y von der Abszisse x abhängt
Ausführliche InfosNullstellen einer Sinusfunktion
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Bei der Sinusfunktion wird dem Winkel im rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis der Gegenkathete zur
Ausführliche Infoshebbare Definitionslücke
Eine Definitionslücke ist eine Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist. Eine Definitionslücke, ist wie der name schon sagt ein lücke
Ausführliche InfosOrtskurve Wendepunkt
► Eine Ortskurve oder Ortslinie bezeichnet die Funktion,die Hoch- oder Tiefpunkte einer Kurvenschar verbindet. ► Als Ortskurven bezeichnet man den geometrischen Ort
Ausführliche InfosOrtskurve Extrempunkt
► Eine Ortskurve oder Ortslinie bezeichnet die Funktion,die Hoch- oder Tiefpunkte einer Kurvenschar verbindet. ► Als Ortskurven bezeichnet man den geometrischen Ort
Ausführliche InfosFunktionsschar
Wir haben die folgende Funktion gegeben. Unser Funktionsschar lautet fa(x) = x2 + (1-2a)x – 2a Berechnen wollen wir folgendes Nullstelle
Ausführliche Infosfallende Monotonie
Falende Monotonie ►Liegt nun ein Graph einer Funktion vor, so kann man eindeutig sehen, ob die Funktion streng monoton steigt
Ausführliche InfosSteigende Monotonie
Wir wollen jetzt also klären, wann steigt die Funktion an und wann fällt sie. Für die Steigung an jedem Punkt
Ausführliche InfosKurvenlänge durch Integration
Zwei verschiedene Wege können dasselbe Bild haben, dieselbe Kurve kann also durch verschiedene Wege parametrisiert werden. Es ist naheliegend, die
Ausführliche InfosPolstellen
Eine Polstelle – auch nur als Pol bezeichnet – ist eine nicht hebbare Definitionslücke, in deren Umgebung die Funktionswerte gegen
Ausführliche InfosSattelpunkt
Ein Sattelpunkt wird auch Terrassenpunkt oder Horizontalwendepunkt genannt und ist ein kritischer Punkt einer Funktion, der nicht zu den Extrempunkten
Ausführliche InfosWendepunkte
Der Wendepunkt eines Funktionsgraphen ist der Punkt, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Entweder wechselt er von einer Links-
Ausführliche InfosExtremwerte
Extremwerte, auch als Extrema (Einzahl: Extremum) bekannt, sind alle Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion. Hochpunkte werden auch Maximum, Tiefpunkte auch
Ausführliche InfosNullstellen (fortgeschritten)
Substitutionsverfahren Liegt eine Funktion vierten Grades vor, bietet sich oft das Substitutionsverfahren an. Beispiel f(x) = x4 – 10×2 +
Ausführliche InfosNullstellen (Grundlagen)
Im Rahmen der Kurvendiskussion ermittelt man die markanten Punkte einer Funktion, zu denen auch die Nullstellen gehören. Nullstellen sind die
Ausführliche Infosy-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt einer Funktion bezeichnet den Punkt auf der y-Achse, der vom Funktionsgraphen geschnitten wird. Zur Bestimmung des Schnittpunkts mit
Ausführliche InfosGrenzwerte (Verhalten im Unendlichen)
Unter dem Grenzwert einer Funktion, auch Limes genannt, versteht man das Verhalten der y-Werte gegen einen bestimmten Wert von x.
Ausführliche InfosSymmetrieverhalten
Das Symmetrieverhalten beschreibt, ob eine zu untersuchende Funktion symmetrisch zu einer Achse (in der Regel die y-Achse) oder einem Punkt
Ausführliche InfosDefinitionsmenge
Die Definitionsmenge ist die Menge an Zahlen, der wir eine Zahl aus dem Wertebereich zuordnen können. In anderen Worten bedeutet
Ausführliche InfosFunktionstypen
Funktionen können in unterschiedliche Typen kategorisiert werden, denen wiederum gleiche Eigenschaften zugeschrieben werden können. Die Definitionen mögen zunächst etwas kompliziert
Ausführliche InfosTabellarische Übersicht
Hier die wichtigsten Aufleitungen der Potenzfunktion, Wurzel, Exponentialfunktion und trigonometrischen Funktionen tabellarisch aufgeführt: * Diese Aufleitung gilt nur für den
Ausführliche InfosFläche zwischen zwei Graphen
Wir haben bereits gelernt, wie man die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse bestimmen kann. Mit diesem
Ausführliche InfosFläche mit Vorzeichenwechsel
Bei der Integration ist zu prüfen, ob sich die berechnete Fäche vollständig auf einer Seite der x-Achse befindet. Sollte dies
Ausführliche InfosSubstitution
Die Substitutionsregel (Substitution heißt Ersetzung) bei der Integration kann als Gegenstück zur Kettenregel beim Ableiten gesehen werden. Auch hier liegt
Ausführliche InfosPartielle Integration
Die partielle Integration wird verwendet, wenn ein Produkt aufgeleitet werden soll, dessen Faktoren jeweils von x abhängig sind. Eine Abhängigkeit
Ausführliche InfosSummenregel bei Integration
Besteht eine Funktion f (x) aus mehreren Summanden, so werden diese als einzelne Funktionen betrachtet und können auch einzeln aufgeleitet werden.
Ausführliche InfosFaktorregel bei Integration
Befindet sich ein Faktor vor der Potenz, der unabhängig von der Variablen x ist, kann dieser aus dem Integral gezogen
Ausführliche InfosPotenzregel bei Integration
Mit der Potenzregel kann man für alle Funktionen der Form f (x) = xn direkt die Aufleitung angeben. Der Exponent n ist hierbei eine
Ausführliche InfosBestimmtes Integral
Wir sind im vorherigen Artikel schon mit unbestimmten Integralen in Berührung gekommen. Das Ergebnis eines Integrals lässt sich als Fläche
Ausführliche InfosStammfunktion
Bei der Differentialrechnung haben wir bereits gelernt, wie man Funktionen ableitet. Was aber, wenn wir nur die Ableitung einer Funktion
Ausführliche InfosAufleiten einer Funktion
→Bei einem bestimmten Integral ist die Lösung ein einfacher Zahlenwert. →Bei einem unbestimmten Integral erhält man als Lösung eine Funktion,
Ausführliche InfosAufleitung Summenregel
Das Auffinden einer Stammfunktion heißt Integration. Eine Stammfunktion F einer Funktion f(x) ist bis auf eine Integrationskonstante C genau bestimmt. Das wird
Ausführliche InfosAufleiten Flächenberechnung
Das bestimmte Integral: Das bestimmte Integral einer Funktion f(x) von a bis b ist der Flächeninhalt der von der Funktionskurve
Ausführliche InfosIntegral aufleiten
Eine Funktion F heißt Stammfunktion einer Funktion f auf einem Intervall I, wenn für alle xI gilt:, F’(x) = f(x) Man
Ausführliche InfosObersumme und Untersumme Aufleitung
•Die Summe der Flächeninhalte der großen Rechtecke wird als Obersumme, die der kleinen als Untersumme bezeichnet. •Je größer die Anzahl n der Rechtecke
Ausführliche InfosIntegration durch Substitution
•Die Integration durch Substitution ist eine Methode zur Berechnung von Stammfunktion und Integralen. •Integration durch Substitution Diese Integrationsmethode beruht auf der
Ausführliche InfosAufleiten Substitution
Die Integration durch Substitution wird immer dann angewendet, wenn ein Faktor des Integranden die Ableitung der inneren Funktion des anderen
Ausführliche InfosAufleiten Regeln
Definition: Eine Funktion F heißt Stammfunktion einer Funktion f auf einem Intervall I, wenn für alle xI gilt:, F’(x) = f(x).
Ausführliche InfosAufleiten Produkt
Unter partieller Integration versteht man eine Methode, ein vorliegendes Integral auf ein anderes, einfacher zu berechnendes zurückzuführen. Da es dabei
Ausführliche InfosDifferentiationsregeln
Die Notation Die Ableitung einer Funktion wird mit einem Strich ( ` ) nach der Bezeichnung der Funktion gekennzeichnet. Bei
Ausführliche InfosWurzelfunktion ableiten
Wurzelfunktionen sind Spezialfälle von Potenzfunktionen. Wir können daher jede einfache Wurzelfunktion mit der Potenzregel ableiten. Jede Wurzel kann auch als Exponent
Ausführliche InfosBruch ableiten
Ableitung Definition Eine Ableitung hilft dir, die Steigung eines Graphen an einer beliebigen x-Koordinate zu bestimmen. Du bildest die Ableitung
Ausführliche InfosPartielle Integration
Die Formel für die Partielle Integration lautet: ►Bei der partiellen Integration leitest du einen Teil der Funktion ab, während du
Ausführliche InfosQuotientenregel bei Ableitungen
►Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die
Ausführliche InfosKettenregel bei Ableitungen
Die Kettenregel hat ihren Namen daher, dass sie angewendet wird, um zwei oder mehrere miteinander verketteten Funktionen abzuleiten. Die Kettenregel ist
Ausführliche InfosProduktregel bei Ableitungen
Formel Die Produktregel ändert sich nicht wesentlich, wenn man mehr als zwei Faktoren zum Ableiten hat. Wir schreiben nun statt
Ausführliche InfosSummenregel bei Ableitungen
Summenregel Die Formel lautet Bedeutung: Eine Summe wird abgeleitet, indem man jeden Summanden für sich ableitet und die Ableitungen addiert ►Obwohl
Ausführliche InfosPotenzregel bei Ableitungen
Mit Potenzen drückt man aus, dass eine Zahl mehrere Male mit sich selbst multipliziert wird. Die Potenzregeln, auch Potenzgesetze genannt,
Ausführliche InfosUmkehrregel bei Ableitungen
Eine Umkehrfunktion ist die Antwort auf die Frage: „Wie lautet das Argument der Funktion, wenn ich den Funktionswert kenne?“ Sie ist
Ausführliche InfosFaktorregel bei Ableitungen
Faktorregel Formel Bedeutung: Beim Ableiten bleibt der konstante Faktor unverändert erhalten. Die Faktorregel kannst du immer dann anwenden, wenn dein Faktor
Ausführliche InfosPotenz ableiten
Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form f(x)=a⋅xn wobei a und n (der Exponent) reelle Zahl sind. Die Ableitung einer Potenzfuntkion mit ganzzahligem
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