Mathe Lerntipps

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Autor: kirchner

Stochastik II 

Grundbegriffe

13. April 2018 kirchner

Ereignismenge Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments fasst man als Ereignismenge zusammen. Elementarereignis Ein Element der Ereignismenge wrid als Elementarereignis bezeichnet.

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Matrizenrechnung 

Determinante

12. April 2018 kirchner

Die Determinante ist eine eine reelle Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet werden kann. Liegt eine quadratische Matrix A vor,

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Matrizenrechnung 

Zeilenstufenform

12. April 2018 kirchner

Die Zeilenstufenform wird auch einfach Stufenform oder Treppenform genannt und ist eine von vielen Formen, die Matrizen annehmen können. Im

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Matrizenrechnung 

Inverse einer Matrix

12. April 2018 kirchner

Die Inverse einer Matrix wird auch Kehrmatrix genannt und ist eine quadratische Matrix, die mit der Ausgangsmatrix multipliziert die Einheitsmatrix

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Matrizenrechnung 

Transponierte Matrix

12. April 2018 kirchner

Eine transponierte Matrix wird auch gespiegelte oder gestürzte Matrix genannt. Man erhält sie durch Vertauschen der Zeilen und Spalten einer

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Matrizenrechnung 

Multiplikation von Matrizen

12. April 2018 kirchner

Auch Matrizen können miteinander multipliziert werden, wodurch als Produkt eine neue Matrix entsteht. Die Elemente des Produkts werden bestimmt, indem

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Matrizenrechnung 

Skalarmultiplikation

12. April 2018 kirchner

Multipliziert man eine Matrix A mit einer reellen Zahl k, wird dieser Faktor k auch als Skalar bezeichnet. Der Rechenweg

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Matrizenrechnung 

Addition und Subtraktion

12. April 2018 kirchner

Generell lassen sich Matrizen nur addieren und subtrahieren, wenn ihre jeweilige Anzahl an Zeilen und Spalten übereinstimmt. Wir verfahren hier

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Matrizenrechnung 

Definition einer Matrix

12. April 2018 kirchner

Unter einer Matrix (Mehrzahl: Matrizen) versteht man eine rechteckige Tabelle von Elementen mathematischer Objekte. Diese mathematischen Objekte sind meist Zahlen,

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Kurvendiskussion 

Kurvenschar berechnen Kurvendiskussion

12. April 2018 kirchner

Eine Kurvenschar ist zunächst nichts anderes als eine normale Funktion, bei der die Ordinate y von der Abszisse x abhängt

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Kurvendiskussion 

Nullstellen einer Sinusfunktion

12. April 2018 kirchner

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Bei der Sinusfunktion wird dem Winkel im rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis der Gegenkathete zur

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Kurvendiskussion 

hebbare Definitionslücke

12. April 2018 kirchner

Eine Definitionslücke ist eine Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist. Eine Definitionslücke, ist wie der name schon sagt ein lücke

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Kurvendiskussion 

Ortskurve Wendepunkt

12. April 2018 kirchner

► Eine Ortskurve oder Ortslinie bezeichnet die Funktion,die Hoch- oder Tiefpunkte einer Kurvenschar verbindet. ► Als Ortskurven bezeichnet man den geometrischen Ort

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Kurvendiskussion 

Ortskurve Extrempunkt

12. April 2018 kirchner

► Eine Ortskurve oder Ortslinie bezeichnet die Funktion,die Hoch- oder Tiefpunkte einer Kurvenschar verbindet. ► Als Ortskurven bezeichnet man den geometrischen Ort

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Kurvendiskussion 

Funktionsschar

12. April 2018 kirchner

Wir haben die folgende Funktion gegeben. Unser Funktionsschar lautet   fa(x) = x2 + (1-2a)x – 2a Berechnen wollen wir folgendes Nullstelle

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Kurvendiskussion 

fallende Monotonie

12. April 2018 kirchner

Falende Monotonie ►Liegt nun ein Graph einer Funktion vor, so kann man eindeutig sehen, ob die Funktion streng monoton steigt

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Kurvendiskussion 

Steigende Monotonie

12. April 2018 kirchner

Wir wollen jetzt also klären, wann steigt die Funktion an und wann fällt sie. Für die Steigung an jedem Punkt

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Kurvendiskussion 

Kurvenlänge durch Integration

12. April 2018 kirchner

Zwei verschiedene Wege können dasselbe Bild haben, dieselbe Kurve kann also durch verschiedene Wege parametrisiert werden. Es ist naheliegend, die

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Kurvendiskussion 

Polstellen

12. April 2018 kirchner

Eine Polstelle – auch nur als Pol bezeichnet – ist eine nicht hebbare Definitionslücke, in deren Umgebung die Funktionswerte gegen

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Kurvendiskussion 

Sattelpunkt

12. April 2018 kirchner

Ein Sattelpunkt wird auch Terrassenpunkt oder Horizontalwendepunkt genannt und ist ein kritischer Punkt einer Funktion, der nicht zu den Extrempunkten

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Kurvendiskussion 

Wendepunkte

12. April 2018 kirchner

Der Wendepunkt eines Funktionsgraphen ist der Punkt, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Entweder wechselt er von einer Links-

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Kurvendiskussion 

Extremwerte

12. April 2018 kirchner

Extremwerte, auch als Extrema (Einzahl: Extremum) bekannt, sind alle Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion. Hochpunkte werden auch Maximum, Tiefpunkte auch

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Kurvendiskussion 

Nullstellen (fortgeschritten)

12. April 2018 kirchner

Substitutionsverfahren Liegt eine Funktion vierten Grades vor, bietet sich oft das Substitutionsverfahren an. Beispiel f(x) = x4 – 10×2 +

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Kurvendiskussion 

Nullstellen (Grundlagen)

12. April 2018 kirchner

Im Rahmen der Kurvendiskussion ermittelt man die markanten Punkte einer Funktion, zu denen auch die Nullstellen gehören. Nullstellen sind die

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Kurvendiskussion 

y-Achsenabschnitt

12. April 2018 kirchner

Der y-Achsenabschnitt einer Funktion bezeichnet den Punkt auf der y-Achse, der vom Funktionsgraphen geschnitten wird. Zur Bestimmung des Schnittpunkts mit

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Kurvendiskussion 

Grenzwerte (Verhalten im Unendlichen)

12. April 2018 kirchner

Unter dem Grenzwert einer Funktion, auch Limes genannt, versteht man das Verhalten der y-Werte gegen einen bestimmten Wert von x.

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Kurvendiskussion 

Symmetrieverhalten

12. April 2018 kirchner

Das Symmetrieverhalten beschreibt, ob eine zu untersuchende Funktion symmetrisch zu einer Achse (in der Regel die y-Achse) oder einem Punkt

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Kurvendiskussion 

Definitionsmenge

12. April 2018 kirchner

Die Definitionsmenge ist die Menge an Zahlen, der wir eine Zahl aus dem Wertebereich zuordnen können. In anderen Worten bedeutet

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Kurvendiskussion 

Funktionstypen

12. April 2018 kirchner

Funktionen können in unterschiedliche Typen kategorisiert werden, denen wiederum gleiche Eigenschaften zugeschrieben werden können. Die Definitionen mögen zunächst etwas kompliziert

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Integralrechnung 

Tabellarische Übersicht

12. April 2018 kirchner

Hier die wichtigsten Aufleitungen der Potenzfunktion, Wurzel, Exponentialfunktion und trigonometrischen Funktionen tabellarisch aufgeführt: * Diese Aufleitung gilt nur für den

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Integralrechnung 

Fläche zwischen zwei Graphen

12. April 2018 kirchner

Wir haben bereits gelernt, wie man die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse bestimmen kann. Mit diesem

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Integralrechnung 

Fläche mit Vorzeichenwechsel

12. April 2018 kirchner

Bei der Integration ist zu prüfen, ob sich die berechnete Fäche vollständig auf einer Seite der x-Achse befindet. Sollte dies

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Integralrechnung 

Substitution

12. April 2018 kirchner

Die Substitutionsregel (Substitution heißt Ersetzung) bei der Integration kann als Gegenstück zur Kettenregel beim Ableiten gesehen werden. Auch hier liegt

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Integralrechnung 

Partielle Integration

11. April 2018 kirchner

Die partielle Integration wird verwendet, wenn ein Produkt aufgeleitet werden soll, dessen Faktoren jeweils von x abhängig sind. Eine Abhängigkeit

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Integralrechnung 

Summenregel bei Integration

11. April 2018 kirchner

Besteht eine Funktion f (x) aus mehreren Summanden, so werden diese als einzelne Funktionen betrachtet und können auch einzeln aufgeleitet werden.

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Integralrechnung 

Faktorregel bei Integration

11. April 2018 kirchner

Befindet sich ein Faktor vor der Potenz, der unabhängig von der Variablen x ist, kann dieser aus dem Integral gezogen

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Integralrechnung 

Potenzregel bei Integration

11. April 2018 kirchner

Mit der Potenzregel kann man für alle Funktionen der Form f (x) = xn direkt die Aufleitung angeben. Der Exponent n ist hierbei eine

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Integralrechnung 

Bestimmtes Integral

11. April 2018 kirchner

Wir sind im vorherigen Artikel schon mit unbestimmten Integralen in Berührung gekommen. Das Ergebnis eines Integrals lässt sich als Fläche

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Integralrechnung 

Stammfunktion

11. April 2018 kirchner

Bei der Differentialrechnung haben wir bereits gelernt, wie man Funktionen ableitet. Was aber, wenn wir nur die Ableitung einer Funktion

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Differentialrechnung 

Aufleiten einer Funktion

11. April 2018 kirchner

→Bei einem bestimmten Integral ist die Lösung ein einfacher Zahlenwert. →Bei einem unbestimmten Integral erhält man als Lösung eine Funktion,

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Differentialrechnung 

Aufleitung Summenregel

11. April 2018 kirchner

Das Auffinden einer Stammfunktion heißt Integration. Eine Stammfunktion F einer Funktion f(x) ist bis auf eine Integrationskonstante C genau bestimmt. Das wird

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Differentialrechnung 

Aufleiten Flächenberechnung

11. April 2018 kirchner

Das bestimmte Integral:  Das bestimmte Integral einer Funktion f(x) von a bis b ist der Flächeninhalt der von der Funktionskurve

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Differentialrechnung 

Integral aufleiten

11. April 2018 kirchner

Eine Funktion F heißt Stammfunktion einer Funktion f auf einem Intervall I, wenn für alle xI gilt:, F’(x) = f(x) Man

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Differentialrechnung 

Obersumme und Untersumme Aufleitung

11. April 2018 kirchner

•Die Summe der Flächeninhalte der großen Rechtecke wird als Obersumme, die der kleinen als Untersumme bezeichnet. •Je größer die Anzahl n der Rechtecke

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Differentialrechnung 

Integration durch Substitution

11. April 2018 kirchner

•Die Integration durch Substitution ist eine Methode zur Berechnung von Stammfunktion und Integralen. •Integration durch Substitution Diese Integrationsmethode beruht auf der

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Differentialrechnung 

Aufleiten Substitution

11. April 2018 kirchner

Die Integration durch Substitution wird immer dann angewendet, wenn ein Faktor des Integranden die Ableitung der inneren Funktion des anderen

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Differentialrechnung 

Aufleiten Regeln

11. April 2018 kirchner

Definition: Eine Funktion F heißt Stammfunktion einer Funktion f auf einem Intervall I, wenn für alle xI gilt:, F’(x) = f(x).

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Differentialrechnung 

Aufleiten Produkt

11. April 2018 kirchner

Unter partieller Integration versteht man eine Methode, ein vorliegendes Integral auf ein anderes, einfacher zu berechnendes zurückzuführen. Da es dabei

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Differentialrechnung 

Differentiationsregeln

11. April 2018 kirchner

Die Notation Die Ableitung einer Funktion wird mit einem Strich ( ` ) nach der Bezeichnung der Funktion gekennzeichnet. Bei

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Differentialrechnung 

Wurzelfunktion ableiten

11. April 2018 kirchner

Wurzelfunktionen sind Spezialfälle von Potenzfunktionen. Wir können daher jede einfache Wurzelfunktion mit der Potenzregel ableiten. Jede Wurzel kann auch als Exponent

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Differentialrechnung 

Bruch ableiten

11. April 2018 kirchner

Ableitung Definition Eine Ableitung hilft dir, die Steigung eines Graphen an einer beliebigen x-Koordinate zu bestimmen. Du bildest die Ableitung

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Differentialrechnung 

Partielle Integration

11. April 2018 kirchner

Die Formel für die Partielle Integration lautet: ►Bei der partiellen Integration leitest du einen Teil der Funktion ab, während du

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Differentialrechnung 

Quotientenregel bei Ableitungen

11. April 2018 kirchner

►Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die

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Differentialrechnung 

Kettenregel bei Ableitungen

11. April 2018 kirchner

Die Kettenregel hat ihren Namen daher, dass sie angewendet wird, um zwei oder mehrere miteinander verketteten Funktionen abzuleiten. Die Kettenregel ist

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Differentialrechnung 

Produktregel bei Ableitungen

11. April 2018 kirchner

Formel  Die Produktregel ändert sich nicht wesentlich, wenn man mehr als zwei Faktoren zum Ableiten hat. Wir schreiben nun statt

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Differentialrechnung 

Summenregel bei Ableitungen

11. April 2018 kirchner

Summenregel Die Formel lautet Bedeutung: Eine Summe wird abgeleitet, indem man jeden Summanden für sich ableitet und die Ableitungen addiert ►Obwohl

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Differentialrechnung 

Potenzregel bei Ableitungen

11. April 2018 kirchner

Mit Potenzen drückt man aus, dass eine Zahl mehrere Male mit sich selbst multipliziert wird. Die Potenzregeln, auch Potenzgesetze genannt,

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Differentialrechnung 

Umkehrregel bei Ableitungen

11. April 2018 kirchner

Eine Umkehrfunktion ist die Antwort auf die Frage: „Wie lautet das Argument der Funktion, wenn ich den Funktionswert kenne?“ Sie ist

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Differentialrechnung 

Faktorregel bei Ableitungen

11. April 2018 kirchner

Faktorregel Formel Bedeutung: Beim Ableiten bleibt der konstante Faktor unverändert erhalten. Die Faktorregel kannst du immer dann anwenden, wenn dein Faktor

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Differentialrechnung 

Potenz ableiten

11. April 2018 kirchner

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form  f(x)=a⋅xn  wobei a und n (der Exponent) reelle Zahl sind. Die Ableitung einer Potenzfuntkion mit ganzzahligem

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Prozentsatz berechnen

30. März 2018 kirchner

Wenn der Prozentsatz gefragt ist können wir folgende Formel verwenden: Wir müssen also den Prozentwert durch den Grundwert teilen und

Prozentrechnung 

Grundwert berechnen

30. März 2018 kirchner

Teilweise begegnen uns Aufgaben in denen der Grundwert nicht gegeben ist. Die Formel für diesen Aufgabentyp lautet: Lerntool zu Grundwert

Prozentrechnung 

Einführung in die Prozentrechnung

30. März 2018 kirchner

Im Leben begegnen uns sehr oft Prozentangaben. Daher ist es wichtig damit umgehen zu können. In Kaufhäusern sind Rabatte zum

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