Sattelpunkt

Ein Sattelpunkt wird auch Terrassenpunkt oder Horizontalwendepunkt genannt und ist ein kritischer Punkt einer Funktion, der nicht zu den Extrempunkten zu zählen ist. Sattelpunkte sind Wendepunkte mit waagerechter Wendetangente. Demnach müssen folgende drei Bedingungen erfüllt sein:

Bedingungen

Grafisch kannst du dir den Sattelpunkt folgendermaßen vorstellen, hier anhand der Beispielfunktion f (x) mit der waagerechten Wendetangente t (x) verdeutlicht:

Grafisch

Sollen die Sattelpunkte einer Funktion berechnet werden, verfährt man am besten nach folgendem Schema:

  1. Erste Ableitung bilden
  2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen
    • falls kein x-Wert für f '(x) = 0 existiert, hier abbrechen
  3. Zweite Ableitung bilden
  4. Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen
    • falls keiner der x-Werte für f “(x) = 0 ergibt, hier abbrechen
  5. Dritte Ableitung bilden
  6. Nullstellen der ersten und zweiten Ableitung in die dritte Ableitung einsetzen
    • falls keiner der x-Werte für f “'(x) ≠ 0 ergibt, hier abbrechen
  7. positive x-Werte in f (x) einsetzen, um y-Koordiaten der Sattelpunkte zu erhalten

Beispiel

Die folgende Funktion soll auf Sattelpunkte untersucht werden.

Beispiel 1a

Wir bilden also zunächst die erste Ableitung.

Beispiel 1b

Um die Nullstellen der ersten Ableitung zu berechnen, setzen wir diese gleich Null und lösen nach x auf.

Beispiel 1bc

Somit erhalten wir für die Nullstelle folgenden x-Wert:

Beispiel 1c

Da wir für die erste Ableitung eine Nullstelle erhalten haben, bilden wir im nächsten Schritt die zweite Ableitung.

Beispiel 1d

Wir setzen unsere Nullstelle in die zweite Ableitung ein und prüfen, ob das Ergebnis f “(x) = 0 ist.

Beispiel 1e

Da die zweite Ableitung für unsere Nullstelle ebenfalls Null ergibt, bilden wir nun die dritte Ableitung.

Beispiel 1f

Wir setzen unsere Nullstelle in die dritte Ableitung ebenfalls sein.

Beispiel 1g

Das Ergebnis ist f “(x) ≠ 0 und somit sind all unsere Bedingungen für einen Sattelpunkt erfüllt. Zuletzt bestimmen wir noch den y-Wert unseres Sattelpunkts.

Beispiel 1h

Somit liegt für f (x) abschließend folgender Sattelpunkt vor:

Beispiel 1j