Quadratische Funktionen – Was ist das?

Ein anderer Name für die quadratischen Funktionen lautet ganzrationale Funktion. Zusätzlich verwenden die Mathematiker den Begriff Polynom zweiten Grades. Demnach erweist sie sich als Funktion, die einen Funktionsterm darstellt und über ein Polynom zweiten Grades verfügt. Mathematische Funktionen unterteilen sich in verschiedene Typen. Dazu zählen:

  • Quadratische Funktionen,
  • konstante Funktionen,
  • lineare Funktionen
  • und kubische Funktionen.

Zusätzlich weisen die einzelnen Elemente eine Grundform auf. Quadratische Funktionen besitzen die Formel:

f(x) = ax2 + bx +c.

Die Schüler achten darauf, dass a niemals die Zahl Null darstellt. Bei den besonderen Funktionen kommt ein Graph als Darstellungsform zum Einsatz. Im Fall der quadratischen Funktion handelt es sich um die Parabel. Mithilfe der Werteberechnung von a, b und c ermitteln die Lernenden den Wertebereich. Dadurch erkennen sie, welche Form der Funktionsgraph aufweist.

Welche Bedeutung erhält der Funktionsgraph?

Vorrangig nimmt der Wert von a Einfluss auf das Aussehen des Funktionsgraphen. Dieser zeigt sich in Form einer klassischen Parabel, gestaucht oder lang gezogen. Quadratische Funktionen verschieben sich innerhalb des Koordinatensystems, sofern der Wert b einer Veränderung unterliegt.

Beispielsweise zeichnen die Schüler die Parabel weiter entfernt von der x- oder y-Achse. In der Regel bleibt die quadratische Funktion jedoch auf der horizontalen Achse. Anders verhält es sich, wenn eine Erhöhung des Wertes c stattfindet.

In dem Fall klettert die Funktion die y-Achse hinauf. Kommt es zu einer Verringerung von c, gelangt sie unterhalb des Nullpunkts und befindet sich im unteren Bereich des Koordinatensystems. Um quadratische Funktionen zu zeichnen, eignet sich Koordinatenpapier. Besitzen die Kinder dieses nicht, benutzen sie kariertes Papier.

Die einzelnen Kästchen vierteilen sie, um die richtige Einheit zu erhalten. Zusätzlich bedenken sie, dass sie eine Parabel benötigen. Sie gibt Auskunft darüber, wie eine quadratische Funktion ohne veränderte Werte aussieht.

Was sind Scheitelpunkte und Achsenabschnitte?

Quadratische Funktionen stellen in der Mathematik relevante Berechnungen dar. Zudem gehen sie speziellen Fachbegriffen einher. Dazu zählt der Scheitelpunkt, der für die Definition der Funktion eine wesentliche Rolle spielt. In der Regel besteht er als niedrigster oder höchster Punkt auf der y-Achse. Demnach bezeichnen ihn die Mathematiker auch als Hoch- oder Tiefpunkt.

Hierbei kommt es auf die Öffnung der Parabel an. Zeigt die geöffnete Seite nach oben, erweist sich der Scheitelpunkt als tiefste Stelle. Eine weitere Bezeichnung lautet Minimum. Bei einer nach unten geöffneten Parabel gilt er dagegen als höchster Fleck oder als Maximum.

Des Weiteren erhalten bei den quadratischen Funktionen die Achsenabschnitte Bedeutung. Der y-Achsenabschnitt kennzeichnet den Bereich, in dem die Parabel auf die vertikale Achse trifft. Liegt die Normalform vor, befindet sich der Scheitelpunkt direkt auf der x-Achse. Sobald er diese verlässt, sprechen die Mathematiker von einer Scheitelpunktfunktion.

Was stellt die faktorisierte Form dar?

Quadratische Funktionen verfügen in einigen Fällen über Nullstellen. Zu deren Berechnung ziehen die Schüler die faktorisierte Form der Funktion heran. Auch hierbei gibt a Auskunft darüber, ob es sich um eine gestreckte oder gestauchte Parabel handelt. Die Nullstellen markieren die Lernenden mit den Buchstaben x1 und x2. Zeigen sich beide identisch, besitzt die quadratische Funktion nur eine Nullstelle.

Zeichnen sie die Funktion, legen sie im Vorfeld eine Wertetabelle an und markieren die entsprechenden Punkte im Koordinatensystem. Danach verbinden sie diese mit einer schwungvollen Linie. In keinem Fall sollte die Parabel eckig oder schief aussehen.

Die binomischen Formeln und die quadratische Ergänzung

Quadratische Funktionen benötigen die Schüler, um beispielsweise eine Wachstumsprognose zu erstellen. Um die einzelnen Terme umzuformen, benutzen sie die quadratische Ergänzung. Auf die Weise entsteht ein Binom. Das quadratische Binom erweist sich in der Mathematik als Polynom mit zwei Gliedern. Demnach erscheint das Binom als Summe oder Differenz von zwei Monomen. Um es zu berechnen, kommen die binomischen Formeln zum Einsatz. Mit ihrer Hilfe gelingt es, Produkte aus Binomen umzuformen. Im Unterricht lernen die Schüler sie als Merkformen.

Die drei binomischen Formeln erleichtern vorrangig das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken. Ebenso besteht die Option, Terme zu faktorisieren. Damit die Kinder die Formeln verinnerlichen, nennen ihnen die Eltern praktische Anwendungsbeispiele. Demnach finden die binomischen Formeln beim Kopfrechnen Verwendung. Sie ermitteln die Quadratmeter einer Euro-Palette, wenn sie die dritte binomische Formel verwenden. Misst die Fläche beispielsweise 0,8 mal 1,2 Meter, entsteht folgende Umrechnung: (1 – 0,2) Meter mal (1 + 0,2) Meter. Daraus ergibt sich die Rechnung: 1 m2 – 0,04, sodass als Ergebnis 0,96 Quadratmeter übrig bleiben.

Das Ziel der quadratischen Ergänzung besteht darin, die binomischen Formeln bei quadratischen Funktionen zur Anwendung zu bringen. Beim Ergänzen berechnen die Schüler die Faktoren, die innerhalb der Formel fehlen. Damit keine Veränderung der Parabel entsteht, ziehen sie das Ergebnis nach der Rechnung ab.

Welchen Nutzen besitzen quadratische Funktionen?

Rechnen die Kinder zum ersten Mal mit den quadratischen Funktionen, fragen sie sich, worin der Nutzen besteht. Ab der zehnten Klasse kommen die Schüler mit den Funktionen und den zahlreichen Unterkategorien in Kontakt. Glauben sie, dass sie diese im Alltag nicht benötigen, wirkt sich der Umstand negativ auf die Lernbegeisterung aus. Daher erklären die Eltern ihnen beispielsweise, dass die quadratischen Funktionen in der Elektronik und der Statistik Verwendung finden.

Auch die Parabel erweist sich im alltäglichen Leben vertreten. Beispielsweise besitzt das menschliche Gebiss eine Parabelform. Ebenso verfügen zahlreiche Vasen und Gläser über ähnliche Maße. Vorrangig die Satellitenantenne spielt im Alltag eine wesentliche Rolle. Treffen Fernsehwellen auf den Satelliten, schickt dieser sie in einer Bogenform zurück zur Erde. Beim Kontakt mit der Satellitenantenne entsteht erneut eine Kurve, die an die Parabel erinnert. Auch in der Architektur und im Ingenieurwesen erhält sie einen hohen Stellenwert.

Die Architekten benötigen die quadratischen Funktionen, um beispielsweise eine Stützlast zu ermitteln. Das Maximum gibt hierbei an, an welcher Stelle sich die Kräfte konzentrieren.