kumulative Verteilungsfunktion

Betrachten wir zunächst erneut die Formel für die einfache Verteilungsfunktion:

Mit ihr lässt sich die Wahrscheinlichkeit für eine genau definierte Anzahl an Erfolgen k bei einer Versuchsreihe mit n Wiederholungen bestimmen. Oftmals ist jedoch die Wahrscheinlichkeit für eine Summe an Erfolgswerten k gesucht. Dies lässt sich am einfachsten an einem Beispiel verdeutlichen.

Beispiel 1

Laut einer Studie sind sind in Deutschland 15 von 100 Personen Linkshänder. Bei einer Befragung auf der Straße werden 30 Passanten erfasst. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 5 von ihnen Linkshänder sind?

Lösung

In unserem Fall ist nicht die Wahrscheinlichkeit für eine spezifische Anzahl an Erfolgen k gesucht, sondern die Summe aller Wahrscheinlichkeiten für die Erfolge k und weniger. Hier ist das die Summe der Wahrscheinlichkeiten für den Fall, dass 0, 1, 2, 3, 4 oder 5 Linkshänder auftreten.

Wir wählen hierfür die untere kumulative Verteilungsfunktion.

Es gilt zunächst wieder alle Variablen zu definieren. Da 15 von 100 Personen durchschnittlich Linkshänder sind, beträgt p = 0,15 %. Insgesamt werden 30 Passanten befragt, also umfasst die Anzahl der Versuche n = 30. Es sollen 5 oder weniger Passanten Linkshänder sein, also wählen wir für k = 5. Eingesetzt in die Funktion bedeutet dies:

Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 5 Linkshänder unter den Befragten sind, liegt also bei 71 %.

Beispiel 2

Statistiker haben festgestellt, dass die Ampel an einer Kreuzung in 3 von 4 Fällen grün zeigt. Am Tag passieren durchschnittlich 136 Fahrzeuge diese Kreuzung. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 110 Fahrzeuge bei grün über die Kreuzung fahren können?

Lösung

In diesem Fall ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten für die Erfolge k und mehr gesucht. Hier handelt es sich also um die Summe der Wahrscheinlichkeiten für die Fälle, dass 110, 111, 112,…,135 und 136 Fahrzeuge bei grün über die Kreuzung fahren können.

Wir wählen hierfür die obere kumulative Verteilungsfunktion.

Es werden zunächst wieder alle Variablen definieret Da die Ampel in 3 von 4 Fällen grün zeigt, beträgt p = 0,75 %. Insgesamt werden 136 Fahrzeuge betrachtet, also umfasst die Anzahl der Versuche n = 136. Es sollen 110 oder mehr Fahrzeuge bei grün passieren, also wählen wir für k = 110. Wir setzen dies in die Funktion ein:

Somit liegt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 110 Fahrzeuge bei grün passieren, bei 6,6 %.