Das Polynom

Polynome sind wesentliche Bestandteile der Mathematik. Sie beschreiben eine Gleichung, die entweder konstant, linear quadratisch, kubisch oder quartisch ist. Die Funktion ist mithilfe eines Graphs im Koordinatensystem darzustellen.

Jede Polynomfunktion folgt einer bestimmten Form:

Alle a stammen aus demselben Ring R, was in der Praxis einen Körper oder einen Restklassenring beschreibt, und tragen den Namen Koeffizienten. In Abhängigkeit davon, ob R ganze, komplexe oder reelle Zahlen umfasst, handelt es sich um ganze, komplexe oder reelle Polynome. Jeder Exponent von x ist eine natürliche Zahl. Die führende Ziffer vor dem höchsten Exponenten trägt den Namen „Leitkoeffizient“: Bei 5x²+2x ist der Leitkoeffizient „5“.

Ist der leitende Koeffizient „1“, heißt das Polynom normiert sowie monisch. Ist der Inhalt der Funktion „1“ trägt das Polynom den Namen primitiv. Der Koeffizient von a0 heißt „Absolutglied“. „a1x“ ist ein lineares Glied, a2x² ein quadratisches und a3x³ ein kubisches Glied.

Um ein Polynom anhand eines Beispiels zu erklären, nehmen wir die Gleichung:

Hierbei handelt es sich um eine kubische Polynomfunktion dritten Grades. Die Bestimmung erfolgt dadurch, dass der höchste vorkommende Exponent ³ ist. In diesem Beispiel ist die Zahl 12 der Faktor vor der höchsten Potenz von x und somit der Leitkoeffizient. Alle weiteren Koeffizienten sind 5; 2 und -8.

Rechenarten: Polynomdivision und Nullstellen

Eine Polynomdivision ist eine Partialdivision, welche einen ähnlichen Rechenablauf wie die gewöhnliche Division besitzt. Anstelle von zwei Zahlen sind zwei Polynome durcheinander zu teilen. Für diesen Zweck teilt sich ein kurzes Polynom durch ein kubisches oder quartisches Polynom. Es gilt im ersten Schritt ein Vielfaches des Dividenden zu finden, um die höchste Potenz nach der ersten Subtraktion zu erledigen. Um sich von dem Begriff der Polynomdivision ein genaueres Bild zu machen, findet der Leser eine genauere Definition mit einem Klick im Inhaltsverzeichnis.

Eine Nullstelle beschreibt einen Punkt eines Polynoms, welches die x-Achse berührt. In Abhängigkeit welchen Grad das Polynom besitzt, entstehen mehrere Nullstellen. Rechnerisch liegt immer eine Nullstelle vor, wenn die Gleichung f(x) = 0 erfolgreich ist. Der x-Wert welcher keine Höhe, sprich einen zugehörigen y-Wert von 0 aufweist, beschreibt eine Nullstelle. Nähere Informationen darüber und wie sich eine Nullstelle errechnet finden sich unter dem Punkt „Nullstellen des Polynoms“ im Inhaltsverzeichnis

Spezielle Polynome und ihre Bezeichnung

In der Mathematik existieren unterschiedliche Polynomfunktionen, die über verschiedene Grade verfügen. Ein sogenanntes „Nullpolynom“ bei dem alle Koeffizienten Null sind, definieren Mathematiker den Grad als „minus unendlich“. Der Grad einer Gleichung bestimmt sich in der Regel aus dem höchsten vorkommenden Exponenten.

  • P(x) = -8 ist eine konstante Funktion. Es existiert keine Variable und kein Exponent. Aus diesem Grund bezeichnen Fachleute vergleichbare Gleichungen als Polynome des Grades 0. Die spezielle Bezeichnung lautet konstante Funktionen. Die Zeichnung im Koordinatensystem besteht aus einer geraden Linie, die parallel bei -8 zur x-Achse verläuft.
  • P(x) = 2x-8 beschreibt ein Polynom des 1. Grades. Fachleute bezeichnen diese Gleichung als lineare Funktion oder affin lineare Funktion. Bei diesem Beispiel verläuft der Graph in einer Linie, die die y-Achse bei -8 und die x-Achse bei +4 schneidet.
  • P(x) = 5x²+2x-8 steht für ein Polynom des Grades 2. Der höchste Exponent der Potenz x ist in diesem Falle 2. Eine höher gestellte 2 signalisiert eine quadratische Funktion. Vergleichbar ist diese Bezeichnung mit dem Quadratmeter, der hinter dem Symbol m² steht. Alle Polynome des 2. Grades stellen sogenannte Parabeln dar. Sie verfügen über die Eigenschaft, dass sich die Gleichung bis zum Ende der Steigung oder Neigung auf der gegenüberliegenden Seite spiegelt.
  • P(x) = 12x³+5x²+2x-8 zählt zu den kubischen Funktionen. Aufgrund der hochgestellten 3 handelt es sich um ein Polynom des 3. Grades. Das Merkmal einer kubischen Funktion ist, dass der Graph zuvor ein Tal oder ein Gipfel bildet, welches in das Gegenteil übergeht und ins Unendliche ansteigt oder fällt. Um sich die kubische Funktion leicht zu merken, hilft der Vergleich zum Kubikmeter, welcher als Symbol m³ besitzt.
  • P(x) = 4×4 +12x³+5x²+2x-8 ist eine quadratische Funktion oder eine biquadratische Funktion. Sie verläuft nicht mehr spiegelnd. Der Graph äußert sich ähnlich wie beim Polynom des 3. Grades, allerdings existieren drei Hoch- oder Tiefpunkte anstelle von zwei. Polynome mit einem Exponenten mit der Zahl „4“ nennen Mathematiker Polynom des 4. Grades.

Grundarten von Polynome

In der Mathematik existieren verschiedene Arten eines Polynoms. Wie der Name verrät, handelt es sich um ein „Viel“ „Name“ was sich aus „poly“ und „nom“ ableitet. Ein bekanntes Polynom ist das Binom. Es beschreibt ein Term mit zwei Gliedern: „Bi“ bedeutet zwei. Bekannt ist das Binom für die sogenannten binomischen Formeln. Das Binom ist die Summe oder eine Differenz von zwei Monome. Ein Monom ist eingliedrig. Um besser zu verstehen, wie ein Binom aussieht, folgen drei Beispiele:

  • a + b
  • x² + y²
  • z – 4

Weist das Polynom drei Glieder auf, bezeichnen Mathematiker das Polynom als Trinom. „Tri“ heißt drei und entspricht der Summe oder Differenz von drei Monomen. Ohne sich mehr damit zu beschäftigen, klingt es kompliziert und schwer zu begreifen. Aus diesem Grund folgen weitere Beispiele, die das Erlernen erleichtern.

  • a² + b² + c²
  • x³ + 3b² – c
  • 7a² – 4b³ + 3a³

Das Polynom in der abstrakten Algebra

In der abstrakten Algebra ist das Polynom ein Element eines Polynomringes R[x]. Der Ring ist in diesem Zusammenhang eine Erweiterung des Koeffizientenringes R, der zusätzlich ein unbestimmtes und freies Element aufweist, wie die Variable „x“. R[X] verfügt über die Potenzen, die sich über x ergeben sowie der dazugehörigen Linearkombinationen. Aus diesem Grund ist jedes Polynom eindeutig mithilfe der Folge der enthaltenen Koeffizienten beschreibbar.

Als Beispiel für Polynome in der linearen Algebra, ist ein Vektorraum mit beliebigen und endlichen Grades zu verstehen. Dieser Raum ist nicht mit einfachen geometrischen Vorstellungen zu beschreiben. Das charakteristische Polynom nutzen Mathematiker besonders im Zusammenhang mit der Diagonalisierung von bestimmten Matrizen.