Kurvenschar berechnen Kurvendiskussion

Eine Kurvenschar ist zunächst nichts anderes als eine normale Funktion, bei der die Ordinate y von der Abszisse x abhängt

Beispiel

Wir wollen nun eine komplette Kurvendiskussion durchführen. Gegeben haben wir folgende Funktion

f(x)=ax3-2

Zuerst bilden wir die Ableitungen

f`(x)    = 3ax2

f„(x)   = 6ax

f„`(x)  = 6a

Der Definitionsbereich ist D(f)= R

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

f(0) = -2   ⇒ f schneidet dei y-Achse in ( 0; -2)

ax3-2   ⇒ x3= 2/a     für a  ≠0

x =  3√ 2/a 

Die Funktion hat an dieser Stelle eine Nullstelle, wenn a nicht 0 ist!

Unser Lernvideo zu : Kurvenschar berechnen Kurvendiskussion

 


Symmetrien

f(1) = a13 -2 = a-2

-f(-1) = -(a(-1)3-2) = a+2

f(-1) = (a(-1)3-2) = -a-2

Die Funktion ist weder punktsymmetrisch am Ursprung noch spiegelsymmetrisch zur y-Achse!

Monotonie

f`(x)= 3ax≥ 0           ⇒ a >0      f ist monoton steigend

f`(x)= 3ax2 ≤ 0           ⇒ a <0     f ist monoton fallend


Extrema

1 Fall  a≠0 

f`(x) = 3ax2 =0      ⇒ x=0 

f„(0)= 6a0 = 0

f„`(0)= 6a

Es liegt ein Satellpunkt vor!

2 Fall a=0

Es liegt kein Extremum vor!

Wendestellen

1 Fall  a≠0 

f hat bei 0 einen Satellpunkt

2 Fall a=0

Es liegt keine Wendestellen (Wendepunkte) vor