Ortskurve Extrempunkt

► Eine Ortskurve oder Ortslinie bezeichnet die Funktion,die Hoch- oder Tiefpunkte einer Kurvenschar verbindet.

► Als Ortskurven bezeichnet man den geometrischen Ort aller Punkte, die z.B. Hochpunkte oder Tiefpunkte einer Funktionenschar (= Funktion mit Parameter) sind. Es kann sich aber genausogut um Schnittpunkte, Wendepunkte oder Nullstellen von Scharkurven handeln.

Bestimmung der Extrempunkte

Vorgehensweise.

  • 2mal ableiten
  • Erste Ableitung gleich Null setzen
  • Ergebnis in die zweite Ableitung einsetzen —> überprüfen ob Extremwert überhaupt vorliegt
  • X Wert des Hochpunkt bzw. Tiefpunkt in ursprüngliche Formel einsetzen
  • nach Parameter umstellen
  • Parameter in Y Wert einsetzen

Unser Lernvideo zu : Ortskurve Extrempunkt

 


Beispiel

Unsere Funktion ist ►        f(x) = x2+tx+3

f(x) = x2+tx+3

f´(x) = 2x + t    ⇒ 1. Ableitung!

f“(x) = 2          ⇒ 2. Ableitung!

Wir setzen nun die 1. Ableitung gleich Null 

f´(x) = 0

2x + t = 0     | -t

2x = -1t        I :2

x=-0,5t

f“(-0,5t)  0 —> Extremwert vorhanden!


►Als nächstes setzen wir den Wert „-0,5“ in die Ausgangsfunktion ein.

-0,5t in f(x) einsetzen

f(-0,5t)= (-0,5t)2 +t*(-0,5t)+ 1

f(-0,5t) = -0,25t2+1

⇒PE= ( -0,5t / -0,25t2+1)

x = -0,5t

t = -2x

Zum Schluss setzen wir den Wert für „t“ → also -0,5 in den Y-Wert ein.

t in y Wert

y = -0,25t2+1

y=-0,25* (-2x)2+1

y=-x2+1         ⇒ Ortskurve!