Differentiationsregeln

Die Notation

Die Ableitung einer Funktion wird mit einem Strich ( ` ) nach der Bezeichnung der Funktion gekennzeichnet. Bei höheren Ableitungen fügt man weitere Striche hinzu. Der Übersichtlichkeit halber verwendet man ab der vierten Ableitung statt der jeweiligen Anzahl an Strichen die entsprechende Zahl hochgestellt und eingeklammert.

►Funktion f(x)

►1.Ableitung f`(x)

►2.Ableitung f„(x)

► n-te Ableitung f(n)(x)

Differentiationsregeln im Überblick

Differentiationsregeln


Faktorregel

Faktorregel erlaubt es, konstante Terme vor die Ableitung zu faktorisieren. Dies betrifft nicht nur Zahlen, sondern auch Variablen, die nicht differenziert werden.

Faktorregel

Beispiele

f(x)= 3x2    ⇒ f`(x)= 3*(2*x2-1)  ⇒6x

f(x)=-4x4     ⇒  f`(x)= -4*(4*x4-1) ⇒-16x3

Jeder Faktor ohne x bleibt beim Ableiten Erhalten. D.h. du kannst jeden Faktor, der kein x enthält, also von x unabhängig ist einfach abschreiben und musst nur den Rest ableiten. Das bedeutet: Die Faktorregel wird verwendet, wenn eine konstante Zahl  mit einer regulären Funktion multipliziert wird.

Summenregel

Die Ableitung von der Summe von Funktionen ist die Summe ihrer Ableitungen.

Summenregel

Beispiel

  • f(x)= e5x+4*e3x
  • f`(x)=5e5x+ 12e3x    →Ableitung

♦Besteht eine Funktion aus mehreren Termen, so werden diese als einzelne Funktionen betrachtet und können auch einzeln abgeleitet werden.

♦Summenregel besagt, dass die Summe aus zwei differenzierbaren Funktionen wieder differenzierbar ist und dass eine solche Summe aus Funktionen gliedweise differenziert werden kann.


Produktregel

Die Produktregel wird nur benutzt, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden. Man verwendet sie immer dann, wenn eine Funktion in der Form „Term mit x“ mal „Term mit x“ vorliegt.

Produktregel

Vorgehensweise:

  • u (x) und (x) bestimmen
  • u ‚(x) und ‚(x) bilden
  • in Formel für ‚(x) einsetzen
  • ausmultiplizieren und vereinfachen

Beispiel

f(x)= 2x3*7x2

u(x)= 2x3  ⇒ abgeleitet  u`(x)= 6x2

v(x)= 7x2  ⇒ abgeleitet v`(x)= 14x

f`(x)= 6x2* 7x22x*14x      ► 42x4+28x470x4   Ableitung!

Kettenregel

Die Kettenregel musst du immer dann anwenden, sobald x in einer Klammer steht und die Klammer eine Hochzahl hat.

Kettenregel

Vorgehensweise:

  • (x) und v (x) bestimmen
  • u ‚(x) und ‚(x) bilden
  • in die Formel einsetzen
  • ggf. ausmultiplizieren und vereinfachen​

♦Bei der äußeren Ableitung wird das betrachtet, was außerhalb der Klammer bei f(x) steht

♦Bei der inneren Ableitung, wird das betrachtet, was innerhalb der Klammer bei f(x) steht

♦Danach wird die innere Ableitung mit der äußeren Ableitung multipliziert

Beispiel 

f(x)= -cos(4x)

Äußere Funktion:  -cos

Innere Funktion:   4x

Ableitung äußere Funktion : sin

Ableitung innere Funktion :  4

Zusammengefasst: 4*sin(4x)

Quotientenregel

Ein Quotientenregel wird immer dann benutzt, wenn sowohl im Zähler als auch im Nenner einer Funktion ein x vorkommt.

Quotientenregel

♦Die quotientenregel verwendet man immer bei gebrochenrationalen funktionen.

♦Die Quotientenregel ist eine kombination aus Produkt und Kettenregel

♦Beachte. dass v(x) im Nenner steht. Und was im Nenner steht, darf nicht Null sein. Durch Null darf dich nicht dividiert werden!

Beispiel

f(x)= x2/x

f(x)` = 2x*2-x2*1 / x2

f(x)`= 2x2-x2 / x2

f(x)`= x2/x2

f(x)`=1    Lösung!