E-Funktion Ableitung
Die Exponentialfunktion rein mathematisch
- Die Exponentialfunktion ist eine Berechnung nach dem Muster f(x) = ax
- A muss dabei größer als null sein und darf auch nicht den Wert 1 haben. Für y ist jeder Wert, abgesehen von plus und minus, unendlich möglich.
- Der Graph dieser Funktion hat bei dem Wert x = 0 stets den Wert 1. Dieser Wert ist vom Wert a unabhängig.
- Ist die Basis a größer als 1, liegt eine Wachstumsfunktion vor. Der Graph steigt zunächst langsam und dann immer schneller. Auch wenn die Zeichnung schon eine senkrechte Linie zu sein scheint, kann ein noch schnelleres Wachstum für größere x-Werte dargestellt werden.
- Ist die Basis kleiner als 1, ist die Funktion ein Verfallsprozess. Der Wert sinkt zunächst schnell, dann immer langsamer. Doch egal wie groß der Wert x eingesetzt wird, erreicht die Funktion doch nie den Wert null.
Diese Exponentialfunktionen haben eine große Bedeutung für die Beschreibung von Prozessen , bei denen das Ergebnis der Veränderung , also die Abnahme oder die Zunahme einer Größe die weitere Veränderung selbst wieder beeinflußt .
Dies kann man am folgenden Beispiel erklären :
Der radioaktive Zerfall .
Hierfür gilt : N = N tiefgestellt 0 mal e hoch minus Lamda (λ) t .
►N bezeichnet dabei die Anzahl der zum Zeitpunkt t noch nicht zerfallenen Atome einer radioaktiven Substanz .
►N tiefgestellt 0 bezieht sich auf die Anzahl der zum Zeitpunkt t = 0 vorhandenen , nicht zerfallenen Atome .
►Lambda gibt die für die Substanz charakteristische Zerfallskonstante an und
►T tiefgestellt H bezeichnet die Halbwertszeit .
►Die Halbwertszeit ist die Zeitspanne , innerhalb derer die Hälfte aller Atome zerfallen ist . Sie ist für die ►Substanz ebenfalls charakteristisch .
►Dabei gilt : Lambda mal T tiefgestellt H = ln 2
Unser Lernvideo zu : E-Funktion Ableitung
Ableitungen werden überall dort verwendet, wo die Änderung einer Größe von der gleichen Größe selbst abhängt.
Die Grundableitung der E-Funktion ist einfach, aber man benötigt praktisch immer die Kettenregel und Produktregel zur Ableitung der üblichen Funktionen.
Die Kettenregel
In der Formel ist die äußere Funktion durch u (x) gekenntzeichnet und die innere durch v (x). Bei der Ableitung f ‚(x) gilt „äußere mal innere Ableitung“.
Vorgehensweise ist:
- h (x) und g (x) bestimmen
- h ‚(x) und g ‚(x) jeweils deren Ableitungen bilden
- in die Formel einsetzen
- ggf. ausmultiplizieren und vereinfachen
Produktregel
Produktregel ist immer dann anzuwenden, wenn zwei Funktionen durch ein Malzeichen (⋅) getrennt sind oder wenn mehr als zwei Funktionen durch ein Malzeichen miteinander verknüpft sind.
Vorgehensweise ist:
- f (x) und g (x) bestimmen
- f ‚(x) und g ‚(x) jeweils deren Ableitungen bilden
- in die Formel einsetzen
- ggf. ausmultiplizieren und vereinfachen
Ableitung der E-Funktion
Beispiele
f(x)=ex ► f`(x)=ex denn, Exponentialfunktion ex ist ihre eigene Ableitung!
f(x)= 4*e2x ► f`(x)= 8*e2x denn du nimmt die 2 ( im Exponent) und multiplizierst es mit der 4. Da es eine
E-Funktion ist, bleibt die Zahl im Exponent vorerst einmal gleich
(x+2)*ex ► f`(x)= (x+3)*ex Ihr müsst euch das „x“ im Exponent (ex) als eine 1 vorstellen weil davor keine Zahl steht. Jetzt könnte man natürlich auch schreiben 1*(x+2). Wenn ihr dies aber ausmultipliziert erhält ihr dann die 3-welches auch in der Lösung vorhanden ist.
weitere Beispiele
f(x)= esin(x) ► f`(x)= cos(x)*esin(x) Ableitung von Sinus ist das Cosinus!
f(x)=ex-1 ► f`(x)= -x-2*ex-1
f(x)= eex ►f`(x)= eex+x