Gerade Funktionen berechnen
Eine reelle Funktion ist genau dann gerade, wenn der Funktionsgraph achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
Das heißt:
- Argumente, die sich lediglich in ihrem Vorzeichen unterscheiden, besitzen den gleichen Funktionswert.
- Punkte des Graphen, deren Abszissen lediglich entgegengesetztes Vorzeichen besitzen, haben die gleiche Ordinate.
Eigenschaften
♦Die Summe zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
♦Das Produkt zweier ungerader Funktionen ist gerade.
♦Der Quotient zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
♦Der Quotient zweier ungerader Funktionen ist gerade
Unser Lernvideo zu : Gerade Funktionen berechnen
Beispiele
♦konstante Funktion f(x) = 1
♦Betragsfunktion f(x)= lxl
♦Normalparabel f(x)=x2
♦Kosinusfunktion f(x)=cos(x)
♦Sekansfunktion f(x)= sec(x)
►Eine Funktion y = f (x) ist gerade, wenn der Graph einer geraden Funktion ist
►Die Funktionskurve ändert sich nicht bei Spiegelung an der y-Achse. Das bedeutet: Wenn ein Funktionsgraph einen Punkt (x, f(x)) enthält, dann enthält er auch den Punkt (-x, f(x)). Der Definitionsbereich einer geraden Funktion ist also symmetrisch zum Ursprung.
Wichtig! Merke!
♦Was lässt sich über die Summe von zwei geraden Funktionen sagen?
Voraussetzung: f, g gerade
Behauptung: f + g ist gerade
Beweis: zu zeigen: (f+g)(-x) = (f+g);
(f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x); also (f + g)(-x) = (f+g)(x).
Was gilt, wenn eine Funktion zugleich gerade und ungerade ist?
Voraussetzung: f sowohl gerade als auch ungerade
Behauptung: Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt f(x)=0.
Beweis: f(x)= f(-x)= -f(x),
also f(x)= -f(x)
und somit f(x)= 0
Beispiel
Wir wollen nun zeigen ob die Funktion (hier konstante Funktion) gerade oder ungerade ist
f(x) = 2
Die Funktion ist kontant =2
Bei einer konstanten Funktion, also einer Funktion, deren Funktionsterm nur aus einer Konstanten besteht, gilt das immer, denn dann gilt f ( x ) = c = f ( – x )
In unserem Beispiel ist f(x) = 2 = f (- x). Also ist f (x) = 2 eine gerade Funktion
Am Schaubild erkennt man gerade Funktionen daran, dass sie achsensymmetrisch zur y-Achse sind.
Die Funktion f (x) = 2 ist also nicht ungerade, denn es gilt: f ( – x ) = 2 <> – 2 = – f ( x )