mathe-lerntipps.de  ⇒ Mathe Klasse 8  ⇒ Wurzelrechnung  ⇒ Negative Wurzel

Gefällt Dir unsere Seite?

Gib einfach eine Bewertung ab.

5.0 / 5


von insgesamt0

Negative Wurzel

Wir wollen zuerst klären, was eigentlich die Wurzel ist

Eine Wurzel √ macht das Potenzieren rückgängig. Ziehen wir die Wurzel aus dem Potenzwert, so erhalten wir die ursprüngliche Basis. Was das meint, zeigt uns folgendes Beispiel:

32=9,  denn (rückgängig gemacht)  2√ 9= 3 

 

Es gibt drei wichtige Begriffe an der Wurzel, die ihr kennen müsst: Basis, Wurzelexponent und Wurzelwert

Wurzel-Bezeichnungen Wurzelexponent, Radikand, Wurzelwert

 

 

 

Wurzeln aus negativen Zahlen

  • Allgemein ergeben sich für ungerade Potenzen negativer Zahlen wieder negative Zahlen.
  • Man kann die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Nur nicht im Bereich der Menge IR.
  • Im Bereich IR gibt es keine Zahl die mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt. Daher kann ich im Bereich IR auch nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen.
  • Im Bereich der imaginären Zahlen ist dies allerdings möglich, weil dort die Wurzel aus -1 mit 1i definiert ist

 

 


Hierbei wird die imaginäre Einheit als i := √-1 definiert.

(Auch diese Schreibweise ist wieder nicht vollkommen korrekt, da ja mit i natürlich auch -i eine Wurzel aus -1 sein muss. Es ist daher besser zu sagen, wir definieren i durch die Eigenschaft: i² = -1.)  

 

Nun wollen wir uns einen Beispiel anschauen,

X=√-1

Die Gleichung ist in R nicht lösbar, d.h. es gibt keine reelle Zahl R,
die eine Lösung dieser Gleichung ist. Dies erkennt man, wenn man 
beide Seite der Gleichung quadriert. Man erhält:

 

X=-1

 

Nun sieht man: Die Gleichung hat keine Lösung in R, denn gleichgültig

welche reelle Zahl ich für x einsetzt: Die linke Seite wird nie negativ,
und somit auch nicht gleich –1.   

 


Jetzt führen wir die Imaginäre Einheit i ein

  • Wir haben gerade gezeigt, dass die Quadratwurzel aus –1 keine Lösung haben kann

√-1 = nicht definiert!

  • Der Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783) löste dieses Problem nun,indem er einfach eine neue Zahl "erfand", welche die Lösung dieser Gleichung sein sollte, also die Wurzel aus –1. Er nannte diese Zahl i die "imaginäre Einheit"

√-1=i

  • Quadriert man beide Seiten und vertauscht die Seiten der Gleichung, so erhält man die andere wichtige Schreibweise

i2= -1

 

Die imaginäre Einheit i kann man also auch als eine Zahl betrachten, 

deren Quadrat die negative Zahl –1 ergibt.  

 

 

Anwendung: Quadratwurzel aus negativen Zahlen

Nach der Einführung der imaginären Einheit i ist es uns möglich, auch aus 
negativen Zahlen eine Quadratwurzel zu ziehen. Beispiel:


Mit Wurzeln zu rechnen, muss man üben. Welche Regeln man dabei beachten muss erklären wir in diesem Artikel.
Wie wir für uns Vorteilhaft mit Wurzeln umgehen können zeigen wir hier.
Einführung in die Wurzelrechnung

Haben Sie Fragen zu diesem Thema

Alle Themen aus Wurzelrechnung
Wir nutzen Google Produkte die Cookies setzen, mit der Nutzung der Seite stimmen Sie zu. mehr Infos