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Binomialkoeffizient

Binomialkoefffizient: 

  • Der Binomialkoeffizient findet vor allem Anwendung in der Stochastik aber auch in anderen Gebieten der Mathematik. Der Name entstammt der Tatsache, dass man mit Hilfe des Binomialkoeffizienten die Koeffizienten einer Binomialerweiterung einfach bestimmen kann. Der Binomialkoeffizient lässt sich auch durch das Pascalsche Dreieck errechnen.

 

Notiz: Pascalsche Dreieck

Bildergebnis für pascalsche dreieck

 

 

Die Formel  für den Binomialkoeffizient lautet 

(Wird als "n über k" oder "k aus n" gesprochen)

 

Andere Schreibweisen, wie sie häufig auch auf Taschenrechnern zu finden sind:  und 
(Das C steht hierbei für "combinations" [Kombinationen] oder auch "choices" [Auswahlmöglichkeiten])

n! ist die Fakultät von n.

 

Beispiel

Angenommen, du möchtest aus einer Gruppe von n Menschen eine kleinere Gruppe mit k Menschen zusammenstellen, zum Beispiel aus den 30 (=n) Schülern einer Klasse eine Fußballmannschaft von 11 (=k) Spielern.
Dann gibt der Binomialkoeffizient $ { n choose k} $ an, wie wiele verschiedene Fußballmannschaften du bilden kannst.
Ein bisschen formaler: Ich nummeriere die Schüler der Einfachheit halber mit $ {1,2,3,4,ldots,30} $. Dann wäre eine mögliche Fußballmannschaft:

1. Möglichkeit: $ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} $
2. Möglichkeit: $ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12} $
3. Möglichkeit: $ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,13} $
$ vdots $
$ {30choose 11} $. Möglichkeit: $ {20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30} $

Diese Liste von Fußballmannschaften ist also $ {30choose 11} = 54.637.300 $ Fußballmannschaften lang.

 

Berechnung mit der Formel ergibt:


$ {nchoose k} = frac{n!}{k!cdot{}(n-k)!} $

Dabei bedeutet $ n! $ die Fakultät von n, genauer: $ n! = 1cdot{}2cdot{}3cdot{}ldotscdot{}n $. Zum Beispiel ist $ 5! = 1cdot{}2cdot{}3cdot{}4cdot{}5 = 120 $.

Für das Beispiel oben würdest du also rechnen:

$ {30choose 11} = frac{30!}{11!cdot{}(30-11)!} $

$ = frac{30!}{11!cdot{}19!} $

$ = frac{30cdot{}29cdot{}ldotscdot{}20cdot{}19!}{11!cdot{}19!} $ (denn: $ 30! = 30cdot{}29cdot{}28cdot{}ldotscdot{}20cdot{}19cdot{}18cdot{}ldotscdot{}1 = 30cdot{}29cdot{}28cdot{}ldotscdot{}20cdot{}19! $)

$ = frac{30cdot{}29cdot{}ldotscdot{}20}{11!} $

$ = frac{30cdot{}29cdot{}28cdot{}27cdot{}26cdot{}25cdot{}24cdot{}23cdot{}22cdot{}21cdot{}20}{11cdot{}10cdot{}9cdot{}8cdot{}7cdot{}6cdot{}5cdot{}4cdot{}3cdot{}2cdot{}1} $

(kürzen!)

$ = 54.637.300 $

 

 

 


Unser Lernvideo zu : Binomialkoeffizient


Beispiel 2

Binomialkoeffizient Beispiel 1

 

oder 

Beispiel 3

Binomialkoeffizient Beispiel 2

 

usw....



Nächstes Thema
Die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden hier vermittelt
Hier erklären wir wie man die Warhscheinlichkeit von schwierigeren Vorgängen berechnet.

 

  • Die hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. 

Kurzgefasst: Man kann sich die hypergeometrische Verteilung einfach als Urne vorstellen, bei der Kugeln ohne Zurücklegen entnommen werden.

 

 

Viele Zufallsexperimente können mit dem Ziehen von unterscheidbaren Kugeln aus einem Gefäß, Urne genannt, modelliert werden. In der Urne befinden sich n Kugeln, von denen k gezogen werden. Urne mit n Kugeln; k Kugeln werden nacheinander aus der Urne ”gezogen” und in einer Stichprobe zusammengestellt 

Ein Tupel ist eine geordnete Zusammenfassung von Objekten d.h. unter einem k-Tupel versteht man eine Aufzählung von k nicht notwendig voneinander verschiedenen mathematischen Objekten in einer vorgegebenen, festen Reihenfolge aus einer n-Menge.


 

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