Permutation

Was ist Permutation

  • Permutation ist die Gesamtheit der möglichen Kombinationen von Elementen einer gegebenen Menge miteinander.Die Formel der Permutation lautet

 

Pn= n! / (n1! · n2! ·…· nk!) 

 

Voraussetzungen, die erfüllt sein müssen bei der Permutation

  • Alle Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander.
  • Es müssen alle Elemente ausgewählt werden.
  • Ein Element kann nicht mehrmals ausgewählt werden.

 

Merke Dir:

  • Permutationen mit und ohne Wiederholung (Anzahl der Reihenfolgen für eine bestimmte Ziehung): Pn= n! / (n1! · n2! ·…· nk!)

⇒Wenn alle Kugeln verschieden sind (Permutationen ohne Wiederholung), gilt: Pn= n!

  • Kombinationen ohne Wiederholung (Die Reihenfolge spielt hier keine Rolle.):

⇒Anzahl der Möglichkeiten bei der Ziehung von k Kugeln (ohne Zurücklegen) bei n unterscheidbaren Kugeln:
 Cn,k= (nk) = n! / (k!·(n–k)!)

  • Kombinationen mit Wiederholung(Die Reihenfolge spielt hier keine Rolle. Die Möglichkeiten sind aber nicht gleichwahrscheinlich!):

⇒Anzahl der Möglichkeiten bei der Ziehung von k Kugeln (mit Zurücklegen) bei n unterscheidbaren Kugeln:
Cn,k= (n–1+kk) = (n–1+k)! / (k!·(n–1)!)

 

Beispiel 

Ein Student muss im Laufe eines Semesters 3 Prufungen ¨ ablegen, wir nennen sie der Einfachheit halber A, B und C. Die Reihenfolge, in der er die Prufungen ablegt, ist ¨ beliebig. Wieviele m¨ogliche Reihenfolgen gibt es? Wenn man mit “A B C”den Fall bezeichnet, dass der Student zuerst Prufung ¨ A, dann B, und zum Schluss C ablegt, dann gibt es insgesamt folgende M¨oglichkeiten:

  • A B C
  • A C B
  • B A C
  • B C A
  • C A B
  • C B A

 

Die Frage ist natürlich, warum es gerade 6 Möglichkeiten gibt

Die Zahl der Reihenfolgen (= Permutationen) bestimmt man folgendermaßen: Der Student unseres Beispiels hat für die Wahl der 1. Prüfung  3 Möglichkeiten (also A, B oder C). Egal wie er sich entscheidet, für die Wahl der 2. Prüfung bleiben nur noch  2 zum Auswählen (wenn er zum Beispiel zuerst Prüfung B ablegt, kann er als 2. Prufung  A oder C absolvieren, also 2 Varianten). Für die letzte Prüfung bleibt nur noch 1 zur Auswahl übrig.

Die Anzahl der verschiedenen Reihenfolgen der 3 Prufungen ist dann 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6.

Also ist unser Ergebnis 6!!!

Unser Lernvideo zu : Permutation


Beispiel 2

In einer Urne befinden sich fünf verschiedenfarbige Kugeln. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einem Kreis anzuordnen?

Lösung

(51)!=4!=4321=24

Antwort: Es gibt 24 Möglichkeiten fünf verschiedenfarbige Kugeln in einem Kreis anzuordnen.