Gleichungssysteme mit 2 Variablen

Nun gibt es verschiedene Möglichkeite, solche Aufgabe zu lösen. Entweder das Einsetzungsverfahren oder das Additions-/Subtraktionsverfahren.

Wir aber gehen jetzt ganz zurück und fangen von vorne an, Schritt für Schritt

Gleichung mit zwei Unbekannten

  • du brauchst mindesten genauso viele Gleichungen wie du Unbekannte hast!

Beispiel

Kai und Maria gehen gemeinsam zu einem Obsthändler.

Kai kauft 2 Äpfel und 3 Birnen für 1,40€.

Maria kauft 4 Äpfel und 2 Birnen für 1,60€.

Wie viel kostet ein Apfel, eine Birne?

Schreiben wir uns dass ganze direkt als Ungleichung auf. Wir nennen Äpfel a und Birnen b.

(I)   2·a + 3·b = 1,40€

(II) 4·a + 2·b = 1,60€

Bedingungen prüfen

  • Zunächst checkst du ob unsere Bedingungen von ober erfüllt sind.

Habe ich mindestens so viele Gleichungen wie Unbekannte?

  • Ja, es gibt zwei Unbekannte – Apfel und Birnen – und genauso viele Gleichungen.

Tauchen alle Unbekannten auf?

  • Ja, a/Äpfel und b/Birnen tauchen in beiden Gleichungen auf.

Ist der Zusammenhang da?

  • Ja, es sind die gleichen Äpfel und Birnen, da sie beim selben Händler zur selben Zeit gekauft wurden.

Eine Gleichung umstellen

Zunächst suchst du dir einen der Gleichungen mit zwei Unbekannten aus und stellst sie so um, dass auf einer Seite des Gleichheitszeichens nur noch eine Unbekannte steht. Die andere Unbekannte behandelst du dabei so, als wäre sie eine ganz normale Zahl, die man nur nicht mit den anderen Zahlen verrechnen kann. Wir beginnen mit der zweiten Gleichung

4·a + 2·b  = 1,60€ | – 2·b

4·a          = 1,60€ – 2·b | ÷ 4

a             = 0,40€ – 0,5·b

In andere Gleichung einsetzen

Diese Ergebnis nimmst du nun und setzt es an stelle von a in die andere Gleichung b ein. Das sollte dann in etwas so aussehen:

2·(0,40€ – 0,5·b) + 3·b = 1,40€.

Nun kannst du die Klammer ausrechnen.

0,80€ – 1·b + 3·b = 1,40€

0,80€ + 2·b         = 1,40€ | – 0,80€

2·b                     = 0,60€ | ÷ 2

b                        = 0,30€

Damit weist du jetzt schon einmal, dass eine Birne 0,30€ kostet. Nun ist noch die Frage offen, wie teuer ein Apfel ist.

Ergebnis wieder einsetzen

Dazu nimmst du dir dein gerade erarbeitetes Ergebnis und setzt es in die vorhin umgestellte Formel ein. Dann brauchst du nur noch zusammen zu rechnen und hast den Preis der Äpfel.

a = 0,40€ – 0,5

= 0,40€ – 0,5·0,30€

= 0,40€ – 0,15€

= 0,25€

Und damit haben wir die Gleichungen mit zwei Unbekannten gelöst.


Kurze Zusammenfassung

Merke dir folgendes!

  • Überprüfe ob folgende Bedingungen erfüllt sind:
  • Habe ich mindestens so viele Gleichungen wie Unbekannte?
  • Tauchen alle Unbekannten auf?
  • Ist der Zusammenhang da?
  • Stelle eine Gleichung so um, dass auf einer Seite nur noch eine Unbekannte steht.
  • Setze die umgestellte Gleichung in die andere ein und löse diese Gleichung.
  • Setze das Ergebnis in die vorher umgestellte Gleichung ein und rechne diese aus.

Auch wenn du mehr als 2 Unbekannte hast, kannst du dieses Muster verfolgen. Dabei setzt du nach Schritt 3. das Ergebnis nicht in die Umgestellte Formel ein sondern in eine andere der Gleichungen. Die machst du so lange, bis du alle Formeln abgearbeitet hast und nur noch eine Variable unbekannt ist. Nun machst du mit Schritt 4. weiter und kommst erfolgreich ans Ziel.