Fläche zwischen Funktionen

Integrale berechnen den gewichteten Flächeninhalt, das heißt Beiträge unterhalb der x-Achse zählen negativ.

Vorgehensweise

•Schnittpunkte berechnen

•f(x)−g(x) berechnen

•Integrieren

► Damti F eine Stammfunktion zu f ist, muss gelten: F`(x) =f(x)

Man schreibt: f(x)dx=F(x)+C

wobei C eine beliebige Konstante ist, da es zu jeder Funktion beliebig viele Stammfunktionen gibt, die sich nur in der Konstante unterscheiden (die fällt ja beim Ableiten wieder weg)

Beispiele:

Ist F mit F(x)=x3+x2 eine Stammfunktion zu f mit f(x)=3x2+2x ?
Da F′(x)=3x2+2x= f(x), ist F Stammfunktion zu f.

Das unbestimmte Integral von f(x)=3x2+2x ist ∫f(x)dx=x3+x2+C

Unser Lernvideo zu : Fläche zwischen Funktionen


Rechenbeispiel

Wir wollen den Flächeninhalt der Fläche zwischen den Funktionen

f(x)= x+3  und  g(x)= x2+1

Zuerst bestimmen wir die Grenzen

Schritt 1: Schnittstellen berechnen

Wir setzen beide Funktionen gleich und lösen nach x auf. Nullstellen also!

→   f(x)= g(x)

→   x+3 = x2+1

→   0 = x2-x-2

Mit der pq Formel können wir nun lösen.

pq Formel

x2-x-2= 0

x1= 0,5 – √2,25       → x1 = -1

x2=0


Schritt 2: einzelne Integrale bilden

→ ∫ f(x) -g(x) dx

→ [ -1/3x 3 +1/2x+2x]       → Integral geht von 2 bis -1. Also beim Integralzeichen oben eine 2 und unten eine -1

= 1/3*8 + 1/2 *4 +4 – ( 1/3 +1/2 -2)

= -3 +8 -0,5

=4,5 FE

Der Flächeninhalt zwischen den Funktionen beträgt 4,5 FE ( Flächeneinheiten)