Kongruenzsätze

Um ein Dreieck konstruieren zu können brauchen wir bestimmte Angaben. Welche Angaben man benötigt um ein eindeutiges Dreieck zu konstruieren ist in den verschiedenen Kongruenzsätzen formuliert.

Unser Lernvideo zu : Kongruenzsätze

 

 

 


Kongruenzsatz: Seite Seite Seite

Wenn wir alle drei Seitenlängen eines Dreiecks gegeben haben, können wir ein Dreieck konstruieren. Das Dreieck ist damit eindeutig beschrieben. Immer wenn ein Dreieck dieselben Seitenlängen wie ein anderes aufweist, sind die beiden Dreiecke deshalb kongruent.

Beispiel

Wir haben die folgenden drei Seitenlängen gegeben:

a = 5 cm
b = 3 cm
c = 7 cm

Das Dreieck ist mit diesen Angaben genau beschrieben. Wir können also mit der Konstruktion beginnen. Als erstes zeichnen wir die erste Seite. Mit welcher wir beginnen ist egal. Wir beginnen hier mit der Seite a:

5 cm Strecke

Anschließend müssen wir die beiden Seiten b und c konstruieren. Hierfür Zeichnen wir um einen Punkt einen Kreis mit dem Radius 3 cm und um den anderen Punkt einen Kreis mit dem Radius 7 cm. Anschließend markieren wir die beiden Schnittpunkte.

Beide Kreise mit Schnittpunkten

Wir müssen uns nun für den oberen oder unteren Schnittpunkt entscheiden und die beiden anderen Seiten einzeichnen. Wir haben uns in diesem Beispiel für den oberen Schnittpunkt entschieden, da die Seiten dann in der richtigen Reihenfolge (gegen den Uhrzeigersinn) sind.

Fertiges Dreieck

Hier noch einmal das Dreieck das wir erhalten haben. Rechts ist auch noch einmal das Dreieck abgebildet, welches wir erhalten hätten wenn wir den unteren Schnittpunkt genommen hätten. Die beiden Dreiecke sind Kongruent da man sie durch eine Spiegelung an der Seite a und einer Verschiebung ineinander überführen könnte.

1. Dreieck                   2. Dreieck

 

Kongruenzsatz: Seite Winkel Seite

Wenn bei mehreren Dreiecken zwei Seiten und der Winkel der die beiden Seiten verbindet gleich sind, sind die Dreiecke Kongruent. Wir zeigen auch hier wie man ein Dreieck mithilfe dieser Angaben konstruieren kann.

Beispiel

Wir haben folgende Seiten und Winkle gegeben:

a = 4 cm
b = 2 cm
γ = 120°

Wir schauen uns noch einmal das Standarddreieck an um zu sehen wo sich die Seiten und Winkel befinden.

Standarddreieck

Der Winkel γ liegt zwischen den beiden Seiten a und b. Damit erfüllen unsere Angaben den aktuellen Kongruenzsatz Seite Winkel Seite.

Wir konstruieren im Folgenden das Dreieck. Wir beginnen mit der Seite a:

Seite a

Anschließend zeichnen wir erst einmal den Winkel zwischen a und b ein:

Winkel Gamma

Und messen an der entstandenen Gerade die Strecke b = 2 cm ab.

Seite b

Als letztes müssen wir die beiden Punkt nur noch verbinden und erhalten so das fertig konstruierte Dreieck.

Fertiges Dreieck


Kongruenzsatz: Winkel Seite Winkel

Bei diesem Kongruenzsatz haben wir von einem Dreieck nur eine Seite gegeben. Außerdem wissen wir die beiden Winkel die an die gegebene Seite grenzen. Dadurch ist das Dreieck eindeutig beschrieben. Wie wir es mit diesen Angaben konstruieren können zeigen wir anhand eines Beispiels.

Beispiel

Wir haben eine Seite und die beiden angrenzenden Winkel gegeben:

Winkel Seite Winkel: Vorgaben

Wir beginnen mit der gegebenen Seite b:

Seite b

Anschließend zeichnen wir die beiden gegebenen Winkel an den beiden Endpunkten ein:

Winkel alpha und gamma

Den Schnittpunkt müssen wir nun nur noch markieren und die beiden verbleibenden Seiten einzeichnen:

Fertiges Dreieck

Natürlich hätten wir auch die beiden Winkle nach unten einzeichnen können. Wir hätten dann ein kongruentes Dreieck erhalten.

 

Kongruenzsatz: Seite Seite Winkel

Bei diesem Kongruenzsatz haben wir zwei Seiten und den Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt gegeben. Dadurch ist ein Dreieck eindeutig beschrieben.

Beispiel

Wir haben zwei Seiten und den Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt gegeben:

c = 6cm
b = 3cm
γ = 70°

Mithilfe dieser Angaben werden wir das gesuchte Dreieck konstruieren. Wir beginnen mit der kurzen Seite b.

Seite b

Jetzt zeichnen wir den Winkel ein:

Winkel gamma

Jetzt zeichnen wir um den anderen Punkt einen Kreis mit einem Radius von 6 cm und markieren den Schnittpunkt mit der zuvor gezeichneten Geraden.

Kreis für Seite c

Abschließend müssen wir nur noch die drei Punkte verbinden und erhalten so das gesuchte Dreieck.

Fertiges Dreieck