Brüche dividieren

Wir dividieren durch einen Bruch indem wir mit seinem Kehrwert malnehmen. Wir müssen also das Geteilt- durch ein Malzeichen ersetzen und vom zweiten Bruch den Kehrwert nehmen (ihn also umdrehen).

Division von Brüchen

Unser Lernvideo zu : Brüche dividieren


Beispiel Brüche dividieren

Division von Brüchen Beispiel Schritt 1

Wir multiplizieren mit dem Kehrwert:

Division von Brüchen Beispiel Schritt 2

Bei diesem Ergebnis kann nicht mehr gekürzt werden. Es ist also das Endergebnis.

 

Division durch eine ganze Zahl

Wenn wir einen Bruch durch eine ganze Zahl teilen, müssen wir den Nenner des Bruchs mit der ganzen Zahl multiplizieren. Dies ist dadurch zu erklären, dass wir bei der Divsion mit dem Kehrwert des Bruchs malnehmen. Wenn wir die Zahl c also als Bruch schreiben und dann den Kehrwert nehmen, erhalten wir 1/c.

Division von Bruch und ganzer Zahl

Beispiel

Division von Bruch und ganzer Zahl Beispiel


Bei der Division von Brüchen kommt es darauf an, sie mit Kehrwert des zweiten Bruchs zu multiplizieren.

Um Brüche dividieren zu können, bilden die Rechnenden zunächst den Kehrwert der zweiten Bruchzahl. Zu dem Zweck tauschen sie Nenner und Zähler miteinander aus. Anschließend folgt die Multiplikation, bei der die Schüler die Zähler und separat die Nenner miteinander malnehmen. Daraus ergibt sich das Rechenergebnis. Die Division der Brüche erhält auch im Alltag Relevanz.

So können Schüler Brüche dividieren

Das Dividieren von Brüchen erhält im alltäglichen Leben einen hohen Stellenwert. Teilen die Schüler beispielsweise die Hälfte einer Schokoladentafel durch jeweils drei Personen, steht das Ergebnis der Bruchrechnung im Vordergrund. Damit sie die Brüche dividieren, benötigen sie zunächst ein grundlegendes Verständnis für das kleine Einmaleins. Ein Bruch besteht in der Regel aus einem Nenner und einem Zähler. Der Zähler nennt sich in der Mathematik auch Dividend, was im Deutschen „zu teilende“ bedeutet. Er befindet sich über dem Bruchstrich.

Darunter steht der Divisor, auch Nenner genannt. Da er den „Teilenden“ darstellt, heißt er auch Teiler. Die Bruchmenge gilt als Wert des Quotienten oder auch Quotientenwert. Um Brüche dividieren zu können, erfolgt die Multiplikation mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs. Um diesen zu erzielen, tauchen die Rechnenden Zähler und Nenner miteinander aus. Heißt die Rechnung ½ geteilt durch ¾, stellt 4/3 den Kehrwert dar. Demnach ermitteln sie das Ergebnis von ½ mal 4/3. Als Ergebnis erhalten die Mathematikschüler den Wert 4/6. Kürzen sie diesen, steht als Endergebnis 2/3. Um das Brüche-Dividieren zu vereinfachen, folgt eine Schritt-für-Schritt-Anleitung:

  • die Schüler verändern den ersten Bruch nicht,
  • statt des Geteilt-Zeichens schreiben sie das Multiplikations-Zeichen,
  • den zweiten Bruch drehen sie um und vertauschen Zähler und Nenner,
  • nun folgt die Multiplikation mit dem Kehrwert,
  • dazu rechnen die Lernenden Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner,
  • sofern möglich, kürzen sie das Ergebnis.

Um zwei Brüche miteinander zu dividieren, benötigen die Rechnenden demnach Kenntnisse in Bezug auf die Multiplikation der geteilten Zahlen. Teilen die Schüler große Bruchzahlen miteinander, steht das Verständnis des großen Einmaleins im Mittelpunkt. Als Beispiel rechnen sie 17/20 geteilt durch 10/17. Bilden sie von der zweiten Zahl den umgekehrten Wert, ergibt sich die Rechnung 17/20 mal 17/10. Das Resultat besteht in der Ziffer 1 89/200.

Dividieren und Kürzen innerhalb der Brüche

Damit die Lernenden große Brüche dividieren, kürzen sie diese zunächst. Hierbei kommt es darauf an, Zähler und Nenner durch den kleinsten gemeinsamen Nenner zu teilen. Rechnen die Schüler beispielsweise 2/6 durch 6/10, stellt der kleinste gemeinsame Nenner in beiden Fällen zwei dar. Demnach dividieren sie zunächst Dividend und Divisor des ersten Bruchs durch die Ziffer. Als Ergebnis erhalten sie 1/3. Anschließend teilen sie 6/10 durch zwei. Daraus ergibt sich ein Wert von 3/5.

Aus dem Grund lautet die neue Divisionsgleichung 1/3 geteilt durch 3/5. Die Berechnung läuft nach dem normalen Schema ab. Die Rechnenden multiplizieren 1/3 mit dem Kehrwert von 3/5, also 5/3. Das Resultat lautet 5/9. Da die Zahlen über keinen kleinsten gemeinsamen Nenner verfügen, besteht keine Möglichkeit, den Bruch zu kürzen. Beim Brüche-Dividieren erleichtert das Kürzen die Berechnung. Speziell bei großen Zahlenwerten fällt das Kopfrechnen schwer.

Das Teilen von Brüchen im Alltag

Das Brüche-Dividieren erhält in alltäglichen Situationen Relevanz. Erneut dient als Beispiel eine Tafel Schokolade, bei der eine 100-Gramm-Packung 24 Stückchen aufweist. Um vier Personen den gleichen Anteil zu sichern, teilen die Schüler die Hälfte der Schokoladentafel durch zwei. Daraus ergibt sich ein Viertel. Alternativ rechnen sie ¼ geteilt durch 1/24 und bekommen das Ergebnis sechs. Jede der vier Personen erhält demnach sechs Stückchen Schokolade. Da die gesamte Tafel 24 Stücke bemisst, handelt es sich exakt um ein Viertel.

Dividieren und Kürzen zwischen den Brüchen

Nach der Bildung des Kehrwerts gelten die Regeln für die Multiplikation von Brüchen. Zwischen den Brüchen kürzen die Schüler erst, wenn sie den zweiten Bruch bereits umkehrten. Gehen wir von dem Beispiel 3/10 geteilt durch 2/5 aus. Die Multiplikation lautet in dem Fall 3/10 mal 5/2. Nun besteht die Möglichkeit, die Zehn und die Fünf durch fünf zu dividieren. Die Bruchrechnung heißt demnach 3/2 multipliziert mit ½. Als Endergebnis erhalten die Lernenden die Ziffer ¾. Des Weiteren ergibt sich die Option, Nenner und Zähler gleichermaßen durch den jeweils kleinsten gemeinsamen Nenner zu teilen. Um das Brüche-Dividieren und Kürzen zu veranschaulichen, folgt ein weiteres Beispiel.

Hierbei berechnen die Schüler 6/8 geteilt durch ¾. Zunächst erfolgt wieder das Malnehmen des Kehrwerts des zweiten Bruchs. Demnach lautet die Gleichung: 6/8 mal 4/3. Anhand der Zahlen erkennen die Rechnenden bereits, dass eine mehrmalige Kürzung möglich ist. Sie kürzen die Sechs und die Acht durch die Zahl Zwei. Daraus entsteht: ¾ multipliziert mit 4/3. In beiden Bruchzahlen befinden sich identische Ziffern, sodass das Kürzen über Kreuz zum Einsatz kommt. Zu dem Zweck dividieren die Lernenden die Zahl drei durch sich selbst und die Vier durch sich selbst.

In beiden Fällen steht die Eins als Endergebnis, sodass sich folgende Gleichung ergibt: 1/1 mal 1/1. Den Bruch wandeln sie in die ganze Zahl Eins um.

Division von Brüchen und natürlichen Zahlen

In einigen Fällen kommt es vor, dass die Lernenden eine Bruchzahl durch eine natürliche Zahl teilen. Beispielsweise rechnen sie 5/9 geteilt durch vier. Um die Berechnung zu vollziehen, steht zunächst die Umwandlung der ganzen Zahl in eine Bruchzahl im Fokus. Anstatt vier schreiben sie daher 4/1. Die Bruchrechnung lautet demnach 5/9 geteilt durch 4/1. Nach der Multiplikation mit dem Kehrwert entsteht das Resultat 5/36.

Wichtige Ergänzungen zum Brüche-Dividieren

Oftmals stehen die Schüler vor der Problematik, gemischte Brüche miteinander zu dividieren. Das funktioniert nicht auf direktem Weg, da zunächst die Umwandlung in einen unechten Bruch erfolgt. Erweist sich der Zähler im Nachhinein größer als der Nenner, besteht ebenfalls keine Rechenmöglichkeit. Daher wandeln die Lernenden das Resultat wieder in einen gemischten Bruch um. Zu den Arbeitsschritten, die Rechnende bei der Division von Brüchen kennen müssen, zählen:

  • den Bruch mit einer ganzen Zahl zu multiplizieren, indem die Multiplikation von Zähler und natürlicher Zahl erfolgt; der Nenner bleibt gleich;
  • den Bruch mit der ganzen Zahl zu dividieren, indem die Malrechnung von Nenner und Zahl erfolgt, der Zähler bleibt identisch.