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Symmetrie zum Ursprung

Als punktsymmetrisch werden Körper bezeichnet, die aus zwei Hälften bestehen, wobei die eine Hälfte durch Drehung um 180° die andere Hälfte überdeckt.Punktsymmetrisch sind zum Beispiel die Buchstaben „N“ und „Z“ oder ein Parallelogramm.


Im Gegensatz zur Achsensymmetrie bedeutet Punktsymmetrie, dass wir nicht mehr an einer Strecke spiegeln, sondern eben an einem Punkt spiegeln oder auch drehen. 

 

→Wenn eine Punktspiegelung an P(0|0) die Kurve in sich selbst überführt, ist der Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung

 

Wichtige Punkte zum Merken

⇒Der Drehpunkt wird dabei als Symmetriezentrum betrachtet. Der Drehwinkel als Symmetriewinkel.

⇒Ist eine Figur bereits nach einer Drehung um einen Winkel φ= 360/n  mit sich selbst deckungsgleich, wobei  

n>2 eine beliebige natürliche Zahl ist, so heißt die Figur mehrfach punktsymmetrisch. 

⇒Punktsymmetrische Figuren können ebenso als Paare von punktsymmetrisch liegenden Figuren aufgefasst werden, deren Flächen sich zum Teil überschneiden.


 


Punktsymmetrie zum Ursprung

Kennzeichnend ist hier, dass der Funktionswert bei -x das andere Vorzeichen trägt als der bei x, aber betragsmäßig sind sie gleich : f(-x) = - f(x)

 

Beispiel : f(x) = x3 - 4x 

f(-x) = (-x)3 - 4(-x) = -x3 +4x

-f(x) = - (x3 -4x) = -x3 +4x

also sind linke und rechte Seite gleich.

Beachten, dass die Minuszeichen jeweils richtig stehen!

 

⇒Eine ganzrationale Funktion, die punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft, muss natürlich auch durch den Ursprung gehen, d.h. f(0) =0

⇒Punktsymmetrie ist die Abbildung eines Punktes auf einen anderen mit Bezug auf ein Symmetriezentrum

 


Beispiel Rechnung

f(x)= x4-2x2 / -x3+5x

 

Achsensymmetrie zur x-Achse:   f(x) = f(-x)

Punktsymmetrie zum Ursprung:   f(x) = -f(-x)

 

rechnerische Lösung

-f(-x) = -((-x)4-2(-x)2) / (-(-x)3+5(-x))
         = -(x4-2x2) / (x3-5x)
         = (x4-2x2) / (-x3+5x)
         = f(x)

⇒ Punktsymmetrie zum Ursprung

 

 

Beispiel 2

f(x)= x5 -x3 +x

→ f(x) = (-x)5- (-x)3 + ( -x)

          = -x5 +x-x

          = - ( x5 -x3+x)

          = -f(x) ⇒ f(x)                     Symmetrie zum Ursprung!


Geometrische Formen wie Kreise, Dreiecke und Vierecke werden in diesem Punkt ausführlich erläutert
In diesem Kapitel werden einige Grundbegriffe der Geometrie wie Winkel, Parallel, Gerade oder Strecke erklärt.
Hier erklären wir wie man die Abstände von Punkten oder Geraden ermittelt.
Hier wird erklärt, wie man Körper an einer Achse oder einem Punkt spiegelt.
Hier zeigen wir wie man Punkte oder Formen in ein Koordinatensystem einträgt.

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