Gauß Verfahren

Berechnung der Nullen

Um die Nullen zu berechnen, darf man Zeilen…

vertauschen
mit einer Zahl multiplizieren
durch eine Zahl dividieren
addieren
subtrahieren

Der Ablauf

Vertausche die Zeilen so, dass in der ersten Zeile an erster Stelle keine Null steht.

Dividiere die erste Zeile durch die erste Zahl in dieser Zeile. Damit hat man an erster Stelle eine Eins stehen.
Subtrahiere von der zweiten Zeile ein Vielfaches der ersten Zeile so, dass als Ergebnis in zweiten Zeile die erste Zahl zu Null wird. Wiederhole das Gleiche mit erster und dritter, erster und vierter, erster und n-ten Zeile.
Nach diesem Schritt, steht in der ersten Spalte oben eine Eins und die restlichen Einträge sind Null.
Denkt man sich die erste Spalte und die erste Zeile weg, so erhält man ein kleineres LGS. Wende jetzt den Algorithmus von vorne auf das kleinere LGS an.
Ergebnis ist eine Treppenform der Matrix, insbesondere stehen unter der Diagonale nur Nullen.
Wende die oberen Schritte von vorne an, mit der rechten unteren anstatt linken oberen Zahl als Startpunkt. Das Ergebnis ist eine Diagonalmatrix und die Zahlen rechts vom Trennstrich ist die Lösung des LGS.

Wir berechnen jetzt ein Beispiel Schritt für Schritt

Gegebenes LGS ( Lineares Gleichungssystem)

$left(egin{array}{lll|r} -2 & -4 & -6 & 4 3 & -1 & 2 & 1 4 & 0 & 3 & 3 end{array} ight)$

Schritt 1:
Nicht nötig.

Schritt 2:

Wir dividieren die erste Zeile durch -2.
Im Folgenden verwendete Kurzschreibweise: I = I /(-2)

$left(egin{array}{lll|r} -2/(-2) & -4/(-2) & -6/(-2) & 4/(-2) 3 & -1 & 2 & 1 4 & 0 & 3 & 3 end{array} ight)$

$left(egin{array}{lll|r} 1 & 2 & 3 & -2 3 & -1 & 2 & 1 4 & 0 & 3 & 3 end{array} ight)$

Schritt 3:

Damit die erste Zahl in der zweiten Zeile Null wird, müssen wir von der zweiten Zeile das dreifache der ersten Zeile abziehen.
II = II – 3*I

$left(egin{array}{lll|r} 1 & 2 & 3 & -2 3-3*1 & -1-3*2 & 2-3*3 & 1-3*(-2) 4 & 0 & 3 & 3 end{array} ight)$

$left(egin{array}{lll|r} 1 & 2 & 3 & -2 3 & -1 & 2 & 1 4 & 0 & 3 & 3 end{array} ight)$

Schritt 4:

Man denkt sich die erste Zeile und die erste Spalte weg und beginnt beim 1. Schritt.

Schritt 1:

Entfällt, weil in der zweiten Zeile an der zweiten Stelle bereits keine Null steht.

Schritt 2:

Wir müssten in der zweiten Zeile die zweite Zahl, also die -7 auf 1 bringen.

II = II / (-7)

$left(egin{array}{lll|r} 1 & 2 & 3 & -2 0 & 1 & 1 & -1 0 & -8 & -9 & 11 end{array} ight)$

Schritt 3:

Aus -8 muss 0 werden. Also: III = III -(-8)*II = III + 8*II

$left(egin{array}{lll|r} 1 & 2 & 3 & -2 0 & 1 & 1 & -1 0+8*0 & -8+8*1 & -9+8*2 & 11+8*(-1) end{array} ight)$

$left(egin{array}{lll|r} 1 & 2 & 3 & -2 0 & 1 & 1 & -1 0 & 0 & -1 & 3 end{array} ight)$

Unser Lernvideo zu : Gauß Verfahren

An dieser Stelle sehen wir bereits, dass c=-3 ist. Man könnte jetzt a und b durch Einsetzen bekommen, aber das ist nicht der Sinn dieses Beispiels. Es geht weiter.

Schritt 5:

Die Matrix hat jetzt eine Treppenstufenform bzw. konkret sogar eine Dreiecksform. An dieser Stelle beginnt der Algorithmus von vorne mit unterer rechter Zahl (-1) als Ausgangspunkt.

Schritt 1:

Entfällt, da -1 ungleich Null ist.

Schritt 2:

III = III / (-1)

$left(egin{array}{lll|r} 1 & 2 & 3 & -2 0 & 1 & 1 & -1 0 & 0 & 1 & -3 end{array} ight)$

Schritt 3:

Wir wiederholen das Spiel in dem wir versuchen die Zahlen oberhalb der letzten unteren Zahl zu eliminieren.
I = I – 3*III
II = II – III

$left(egin{array}{lll|r} 1-3*0 & 2-3*0 & 3-3*1 & -2-3*(-3) 0-0 & 1-0 & 1-0 & -1-(-3) 0 & 0 & 1 & -3 end{array} ight)$

$left(egin{array}{lll|r} 1 & 2 & 0 & 7 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & -3 end{array} ight)$

Schritt 4:

Man beginnt den Algorithmus von vorne mit 1 in der Mitte als Ausgangspunkt.

Schritt 1 und 2:

Entfallen.

Schritt 3:

I = I – 2*II

$left(egin{array}{lll|r} 1-2*0 & 2-2*1 & 0-2*0 & 7-2*2 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & -3 end{array} ight)$

$left(egin{array}{lll|r} 1 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & -3 end{array} ight)$

Damit hat die Matrix eine Diagonalform. Wir könnten auch schreiben:

1a + 0b + 0c = 3
0a + 1b + 0c = 2
0a + 0b + 1c = -3

Was direkt der Lösung a=3; b=2; c=-3 entspricht.

Wenn man die Zwischenschritte weg lässt, dann wird deutlich, wie wenig Schreibarbeit so ein Lösungsweg braucht.

Wir schauen uns noch einen Beispiel an, damit Ihr das Verfahren richtig anwenden könnt

$left(egin{array}{lll|r} -1 & -5 & 0 & 12 -1 & -4 & 0 & 8 0 & 2 & -1 & -13 end{array} ight)$

II = II – I

$left(egin{array}{lll|r} -1 & -5 & 0 & 12 0 & 1 & 0 & -4 0 & 2 & -1 & -13 end{array} ight)$

III = III – 2*II

$left(egin{array}{lll|r} -1 & -5 & 0 & 12 0 & 1 & 0 & -4 0 & 0 & -1 & -5 end{array} ight)$

I = I + 5*II

$left(egin{array}{lll|r} -1 & 0 & 0 & -8 0 & 1 & 0 & -4 0 & 0 & -1 & -5 end{array} ight)$

Somit ist die Lösung a=8; b=-4; c=5.

Unser Lernvideo zu : Gauß Verfahren

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