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Fläche mit Vorzeichenwechsel

Bei der Integration ist zu prüfen, ob sich die berechnete Fäche vollständig auf einer Seite der x-Achse befindet. Sollte dies nicht der Fall sein, so muss die Integration jeweils an den Nullstellen unterteilt und die Beträge der Teilflächen addiert werden.

Darstellung

Einfacher gesprochen bedeutet dies, dass man bei den Flächen oberhalb der x-Achse einen positiven Wert und bei denen unterhalb der x-Achse einen negativen Wert erhält. Betrachtet man diese Teilfächen nicht getrennt, so bestimmt man lediglich die Summe an Teilflächen mit unterschiedlichen Vorzeichen und als Konsequenz einen kleineren als den gesuchten Flächeninhalt.

Stattdessen bestimmt man die Nullstellen der Funktion und unterteilt daraufhin die Fläche in entsprechende Teilflächen. Anschließend werden die Beträge dieser Teilflächen aufsummiert. Der Betrag wird mit senkrechten Strichen um den betrachteten Wert gekennzeichnet und beschreibt dessen Abstand zu Null. Das bedeutet, jede negative Zahl wird durch den Betrag positiv und jede positive Zahl bleibt unverändert. Mathematisch ausgedrückt sieht die Fläche dann folgendermaßen aus:

Formel

In der Formel ist beispielhaft nur der Fall für zwei Teilflächen aufgeführt, da im Intervall [a ; c] nur eine Nullstelle bei x = b vorliegt. Theoretisch können natürlich beliebig viele Teilflächen notwendig sein, von denen jeweils die Beträge aufsummiert werden müssen.


Unser Lernvideo zu : Fläche mit Vorzeichenwechsel



Beispiel

Die Fläche zwischen der Funktion f (x) = 2 x - 4 und der x-Achse soll für den Intervall [-6 ; 8] bestimmt werden.

Die Funktion f (x) beschreibt eine Gerade mit der Steigung 2. Sie schneidet die x-Achse bei 2, wodurch an dieser Stelle ein Vorzeichenwechsel vorliegt. Unterhalb der Nullstelle x = 2 nimmt die Funktion negative y-Werte an, oberhalb davon sind sie positiv.

Beispiel 1b

Würden wir jetzt stumpf das Integral von -6 bis 8 über diese Funktion berechnen, erhielten wir ein Ergebnis, dass sich aus einem negativen Wert für den Intervall von -6 bis 2 und einem positiven Wert für den Intervall von 2 bis 8 zusammensetzt. Wenn wir aber die Fläche zwischen der Gerade und der x-Achse wissen wollen, ist dies nicht der gesuchte Wert. Wir können aber den unteren Teil bis zur Nullstelle berechnen und davon den Betrag nehmen, also aus dem negativen Vorzeichen ein positives machen. Wenn wir noch den Wert oberhalb der Nullstelle addieren, erhalten wir die gesuchte Gesamtfläche A.

Gehen wir zunächst davon aus, uns lägen keine Informationen über die zu untersuchende Funktion vor. Dann ist der erste Schritt das Prüfen auf Nullstellen innerhalb des Intervalls, für den die Fläche bestimmt werden soll.

  • Nullstellen bestimmen

Falls dir dies noch Probleme bereiten sollte, findest du im Kapitel Nullstellen (Grundlagen) Abhilfe. Wir setzen die Funktion gleich Null und lösen nach x auf.

Beispiel Nullstellen

Es liegt also eine Nullstelle bei x = 2 vor. Diese Nullstelle liegt innerhalb unseres Intervalls [-6;8] und wir müssen die zu berechnende Fläche somit unterteilen.

  • Gleichung für die Fläche aufstellen

Der betrachtete Intervall beginnt bei x=-6 und endet bei x=8, die Nullstelle liegt bei x = 2. Dementsprechend teilen wir in zwei Teilflächen auf und schreiben:

Beispiel 1c

  • Teilflächen berechnen

Wir lösen hier zunächst das Integral unterhalb der Nullstelle. Dafür integrieren wir zunächst die Funktion und setzen daraufhin die Integrationsgrenzen -6 und 2 in die Stammfunktion F (x) = x2 - 4 x ein.

unteres Integral

Ebenso verfahren wir für das Integral oberhalb der Nullstelle. Hierbei ändern sich lediglich die Integrationsgrenzen, der Weg bleibt der gleiche.

oberes Integral

  • Fläche berechnen

Mit den gelösten Integralen können wir jetzt abschließend die Fläche bestimmen.

Beispiel 1e


Hier findet ihr eine tabellarisch Übersicht der wichtigsten Aufleitungen.

Sind die Integrationsgrenzen bekannt, wird aus einem unbestimmten ein bestimmtes Integral.
Hier wird das Integrieren eines Produkts erklärt.
Hier wird erläutert, wie die Stammfunktion zu bilden ist.
Hier wird eine der grundlegendsten Aufleitungsregeln, die Potenzregel erklärt.

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