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Umrechnung Parameterform - Normalenform

Parameterform in Normalenform

Um von der Parameterform zu der Normalenform zu gelangen, benötigt man nur den Normalenvektor n der Ebene. Der Orts- bzw. Stützvektor p bleibt der Gleiche.

Parameterform in Normalenform

Wir müssen aus den Vektoren u und v den Vektor n berechnen. Wir müssen also den Normalenvektor der Ebene berechnen. Wie wir diesen berechnen haben wir bereits im Kapitel „Normale einer Ebenen“ beschrieben. Wir zeigen die Umrechnung hier noch einmal anhand eines Beispiels. Die Parameterform lautet:

Beispiel

Wir müssen jetzt die Normale der Ebene berechnen. Dafür berechnen wir das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.

Rechnung Kreuzprodukt

Die Normalenform für diese Ebene lautet also:

Lösung Normalenform


Unser Lernvideo zu : Umrechnung Parameterform - Normalenform


Normalenform in Parameterform

Um die Normalenform in die Parameterform umzurechnen, müssen wir denselben weg rückwärtsgehen. Wir müssen also aus dem Normalenvektor zwei Richtungsvektoren berechnen, welche die Ausrichtung der Ebene beschreiben. Dabei ist es wichtig, dass die beiden berechneten Vektoren linear unabhängig (also nicht parallel) sind, da sie sonst keine Ebene aufspannen können. 

Normalenform in Parameterform

Beispiel

Wir nehmen die Normalenform des vorhergehenden Beispiels und formen diese wieder zurück in die Parameterform.

Beispiel Normalenform

Wir müssen nun zwei Vektoren u und v finden, welche senkrecht zu dem Normalenvektor ausgerichtet sind. Das Skalarprodukt muss also 0 ergeben. Dies notieren wir in zwei Gleichungen:

Rechnung

Wir haben also im Prinzip zweimal die gleiche Gleichung um u und v zu berechnen. In jeder Gleichung befinden sich außerdem 3 Unbekannte. Wir können die Gleichung also nur lösen indem wir uns zwei Werte frei aussuchen und dann den dritten berechnen. Wir wählen:

u_1=1     und     u_2=1

Bei den Werten für v müssen wir nun aufpassen, dass die Vektoren linear unabhängig werden. Wir dürfen also nicht – wie eben – dieselben Werte für v_1 und v_2 wählen. Wir wählen:

v_1=1     und     v_2=-2

Wir setzen ein und berechnen:

Rechnung

Die Beiden Vektoren sind also:

u, v

Die Parameterform lautet also:

Ebene Parameterform

Jetzt kann man sich natürlich fragen, warum dieses Ergebnis so wenig mit der Ausgangsgleichung des vorherigen Beispiels zu tun hat. Dies liegt daran, dass es in der Parameterform unendlich viele verschiedene Vektoren gibt, die alle dieselbe Ebene beschreiben.

Vergleich Ebenen

Wir schauen uns das Ganze noch einmal im 3D-Raum an. Die Vektoren sind dabei in den entsprechenden Farben dargestellt. Die roten und blauen Vektoren liegen dabei alle in der blau eingezeichneten Ebene und beschreiben damit genau dieselbe Ebene.

Darstellung



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