Lineare Abhängigkeit 3 Vektoren
Eigenschaften der Vektoren im R3 ♦2 Vektoren sind im R3 genau dann linear abhängig, wenn sie parallel sind ♦3 Vektoren sind
Ausführliche InfosVektorrechnung
Verktorrechnung verstehen
Vektoren sind Elemente aus dem Vektoraum. Diese Objekte werden mit so genannten Skalaren multipliziert. Und mit anderen Zahlen widerrum addiert.
Das genau sind Vektoren
Wird die Geometrie in der Mathematik eher analytisch behandelt, so ist der Vektor eine Parallelverschiebung in einer Ebene oder einem Raum. In der Physik spielen Vektoren auch eine große Rolle. Hier werden sie definiert durch einen bestimmten Betrag bei dem auch die Richtung eine große Rolle spielt.
Lineare Abhängigkeit 2 Vektoren
Linear abhängig im 2D-Raum sind ● Zwei kollineare Vektoren (ein Vektor ist ein Vielfaches des anderen) ● Drei oder mehr
Ausführliche InfosKoordinatengleichung zu Parametergleichung
Parametergleichung Die Ebene wird eindeutig durch 3 kolineare Punkte P1,P2,P3 definiert Die Parametergleichung besteht aus einem Festpunkt und zwei Richtungsvektoren ,welche die Ebene
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Ausführliche InfosEinführung – Vektoren
In diesem Artikel möchten wir zunächst einmal vorstellen was überhaupt ein Vektor ist und was man damit machen kann. Unser
Ausführliche InfosWoher stammt die Vektorrechnung
Hermann Günter Graßmann war der Begründer der Vektorrechnung. Im Jahr 1844 wurde die Vektorrechnung als Lineare Ausdehnungslehre veröffentlicht.
Die Vektorrechnung wurde damals in einem sehr dicken Buch definiert. Aber das war noch nicht der Ursprung. Es war noch früher als zwei Schüler die Vektorrechnung im Anstoss benannt hatten.
Die Definition von Vektorrechnung
Vektoren müssen natürlich in der Berechnung auch erkannt werden. So findet sich in der Regel an einem Vektor ein Pfeil in der Physik und auch der Mathematik.
An Orten in denen die englische Sprache vorherrscht werden die Vektoren mit Hilfe von fetter Schrift gekennzeichnet.
Es gibt einige Mittel um Vektoren als solche Kenntlich zu machen. So auch Frakturschrift und Unterstreichen.
Vektoren in der Geometrie
In der Geometrie sind Vektoren Objekte, die eine Verschiebung der Parallelen darstellen. Dies kann auf einer Ebene der Fall sein oder auch in einem Raum. Hier wird häufig die Verschiebung durch einen Pfeil gekennzeichnet.
Sind zwei Pfeile vorhanden und laufen diese Parallel zu einander, dann ist dies eine Verschiebung, die ein und den selben Effekt aufweist. Zwischen den einzelnen Pfeilen jedoch finden sich noch weitere Unterschiede. So muss hier noch unterschieden werden ob es sich um einen oder mehrere Pfeile handelt. Der einzelne Pfeil muss als gerichtete Strecke definiert werden.
Zwei Pfeile hingegen werden äquivalent. Das ist aber nur der Fall, wenn diese Pfeile gleich lang sind und auch die selbe Richtung aufweisen.
Bei den Vektoren kann es sich aber auch um eine Verschiebung handeln. Eine weitere Möglichkeit ist, das zwei Vektoren in unterschiedliche Richtungen zeigen.
Der Ortsvektor und die Richtungsvektoren
Bezeichnet ein Vektor einen bestimmten Punkt in einem Raum, so handelt es sich dabei um einen Ortsvektor. Ein Richtungsvektor ist eine Gerade, die mit Hilfe eines Pfeiles eine Richtung anzeigt. Eine Unterscheidung der beiden Vektorenarten spielt in der Geometrie eine große Rolle.
Vektoren können addiert und subtrahiert werden
Um eine Addition durchzuführen ist es nötig, zwei Vektoren einzusetzen. Diese müssen verschoben sein und das wird hintereinander durchgeführt. Die Addition erfolgt, wenn der erste Vektor sich genau an den zweiten anschließt.
Diese Rechnung lässt sich mit Hilfe eines Parallelogramms darstellen. Für das Addieren der Vektoren müssen zwei Gesetze beachtet werden. Hier gilt das Assoziativ und auch das Kommutativgesetz. Ist eine Kolineare vorhanden, so können die Vektoren sowohl addiert als auch subtrahiert werden.
Die Multiplikation von Vektoren mit Hilfe eines Skalars
Um diese Rechnung durchführen zu können braucht es Zahlen die tatsächlich vorhanden sind. Dabei handelt es sich um Skalare. Diese müssen dann reell sein. Die Rechnung erfolgt mit Hilfe des Distributivgesetzes. Die Skalare können sowohl positiv sein als auch negativ. Davon ist die Zeigerichtung abhängig.
Kreuzprodukte und Vektoren
Beim Kreuzprodukt handelt es sich nur im allgemeinen Sinn um Vektoren. Diese sind in einem dreidimensionalen Raum und können senkrecht verlaufen.
Das Spatprodukt
Ist ein Kreuzprodukt und auch ein Skalarprodukt zu errechnen, dann handelt es sich dabei um ein Spatprodukt.
Ziel ist es die einzelnen Berechnungen auf Richtigkeit zu überprüfen und stets genau zu arbeiten. Um die einzelnen Produkte ausfindig zu machen, muss zunächst geklärt werden, um welches es sich dabei handelt. Die Vektorenrechnung sollte damit niemandem schwerfallen. Die Definition ist das wichtigste überhaupt und sollte korrekt erfolgen. Nur damit lässt sich der Rechenweg ausmachen.