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Quadratische Funktion durch 3 Punkte

Funktionen, die sich mit Termen der Form f(x) = ax2 + bx+c mit a ≠ 0  darstellen lassen, heißen quadratische Funktionen. Ihre Graphen heißen Parabeln.

Die Gleichung  y = ax2+ bx +c heißt somit  Parabelgleichung 

 

 

Falls man die Parabel aber direkt aus einem Koordinatensystem ablesen will oder in ein Koordinatensystem zeichnen will, dann bietet sich eine alternative Darstellungsform an: die sogenannte Scheitelform oder Scheitelpunktsform

Parabeln haben ein typisches bogenförmiges Aussehen und können nach oben oder nach unten geöffnet sein.  

 

Parameter und ihre Bedeutung

Parameter a 

Konzentrieren wir uns deshalb zu Beginn, was eine Änderung des Koeffizienten a (Koeffizient ist immer der Parameter/die Zahl vor dem x) bei f(x) = ax2 bewirkt.

Fall: a > 0
Ist a > 0,  dann ist für jedes x das x2 positiv. Erinnert euch daran, dass eine negative Zahl ins Quadrat ebenfalls positiv wird. Zeichnet man diese Funktion ergibt sich eine nach oben geöffnete Parabel

Fall: a < 0
Die Werte bei f(x) = ax2 sind stets positiv. Nun aber ist der Vorfaktor (also der Koeffizient) negativ da a < 0 , was dazu führt, dass die Werte immer kleiner gleich 0 sind. Die Parabel ist also nach unten geöffnet

 

 

 


Unser Lernvideo zu : Quadratische Funktion durch 3 Punkte


Parameter b

Verändert ihr den Parameter b, so verschiebt sich zwar die Parabel, aber die Verschiebung ist nicht so einfach wie beim Parameter c. Parameter b gibt also die Verschiebung an!

Parameter c

Der Parameter c ist bei f(x) = ax2 + bx+c  insofern wichtig, als dass er uns erlaubt den y-Achsenabschnitt sofort abzulesen. Zur Erinnerung: Der y-Achsenabschnitt beschreibt den Schnittpunkt mit der y-Achse, also an der Stelle x = 0. Für c > 0 haben wir demnach eine nach oben verschobene Parabel. Für c = 0 eine Parabel, die durch den Nullpunkt geht und für c < 0 haben wir eine nach unten verschobene Normalparabel.

 


Beispiel

Wir haben 3 Punkte gegeben und wollen die dazugehörige Funktionsgleichung finden

Unsere Punkte lauten

  • P(-2/15)
  • P(0/5)
  • P(-6/1)

 

⇒zuerst setzen wir die 3 Punkte in die Gleichung ein

(P1)→ 15=(-2)2+b*(-2)+c

(P2)→ 5=02+0b+c

(P3)→ 1=(-6)2+(-6)*b+c

 

Wir beginnen mit dem Punkt P2 weil es einfach zu lösen ist, da x=0. Von der Gleichung P2 bleibt, also nur folgendes übrig:

(P2)→ 5=02+0b+c -> 5=c

 

⇒Das heißt, wir kennen einen der Variablen schon. Wenn wir diese Variable b jetzt in den beiden anderen Gleichungen jeweils durch 5 ersetzen, können wir durch umformen und auflösen nach b auch die letzte Variable herausfinden

(P1)→ 15=(-2)2+b(-2)+5

<=> 15=4-2b+5 -(4+5)

<=> 6=-2b /(-2)

<=> -3=b

 

Also lautet unser Ergebnis : f(x)=x2-3x+5

 

Vorgehensweise

  1. Punkte in die Funktionsgleichung einsetzten.

  2. Schauen, ob bei einer der Gleichungen ganz offensichtlich eine Variable durch umformen gefunden werden kann.

  3. Die Gleichung umformen.

  4. Die gefundene Zahl an Stelle der Variable in alle Gleichungen einsetzen.

  5. Sich eine Gleichung nehmen, sie nach der übrig gebliebenen Variable auflösen

  6. Die Variablen in die Funktionsgleichung einsetzten und mit den 3 Punkten überprüfen.


 


Eine quadratische Funktion ist im Prinzip eine Funktion wie jede andere, man muss jedoch mit ihr umgehen können.
Was ist der Scheitelpunkt? Was ist der y-Achsenabschnitt? Das erfahrt ihr hier.
Ihr habt eine Funktion und wisst aber nicht wie ihr sie am besten zeichnen könnt? Lest hier wie ihr am besten vorgeht.
Es gibt mehrere verschiedenen Darstellungsformen. Man sollte die Unterschiede kennen.
Eine Funktion kann man in y-Richtung verschieben. Meistens also nach oben oder unten.

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