kgV über Primfaktorzerlegung

Was ist die Primfaktorzerlegung und kgV?

Primfaktorzerlegung

  • Eine Möglichkeit besteht darin, beide Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen.
  • Anschließend multipliziert man alle Faktoren, die in mindestens einer Primfaktorzerlegung vorkommt. Als Exponent der Faktoren wählt man den jeweils größeren der beiden Zerlegungen.

Beispiel:

8 = 23
12 = 2*2 * 3
Das kleinste gemeinsame Vielfache ist also:
kgV(12,8) = 23 * 3 = 24

Was ist die kgV?

Definitionen: Die natürliche Zahl m heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier natürlicher Zahlen a und b, wenn gilt:

  • a|m
  • b|m
  • Wenn c ein (weiteres) gemeinsames Vielfaches von a und von b ist, so gilt m|c.

Man schreibt dann m = kgV(a,b).

Beispiel:

  • kgV(10,6)=30
  • kgV(5,7)=35
  • kgv(10,20)=20

Das kgV bezieht sich immer auf mindestens 2 gegebene Zahlen und stellt eine Zahl dar, welche ein Vielfaches dieser Zahlen ist. Deshalb „gemeinsames Vielfaches„.

Wie berechne ich den kgV?

Du findest das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von mehreren Zahlen, indem Du sie zunächst in Primfaktoren  zerlegst und anschließend alle Primfaktoren miteinander multiplizierst.

(Man schreibt die Vielfachen mengen der beiden Zahlen auf und schaut nach,welches Vielfache zuerst in beiden Mengen vorkommt)

Beispiel:

12=22*31

90=21*32*51

kgV (12;90)= 22*32*5=180

Unter dem Strich tragen wir von jedem Primfaktor, der bei einer oder bei beiden Zahlen vorkommt, die größte Potenz ein und multiplizieren diese dann miteinander. Unser Ergebnis lautet also 180!


Merke Dir:

  • Du solltest die Primzahlen zwischen 2 und 101 auswendig kennen. Diese sind:
  • 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,97,101