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Multiplikation von Matrizen

Auch Matrizen können miteinander multipliziert werden, wodurch als Produkt eine neue Matrix entsteht. Die Elemente des Produkts werden bestimmt, indem das Skalarprodukt aus dem Zeilenvektor der ersten Matrix und dem Spaltenvektor der zweiten Matrix gebildet wird. Hierfür muss die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmen. Das Produkt zweier Matrizen wird auch Matrixprodukt genannt.

Beispiel

Gesucht ist das Produkt der Matrizen A und B, die wie folgt definiert sind:

Beispiel 1a

 

Die erste Matrix A ist eine (2,3-)-Matrix, die zweite Matrix B eine (3,2)-Matrix. Demnach verfügt die Matrix A um drei Spalten und die Matrix B über drei Zeilen, weshalb unsere Bedingung erfüllt ist und sie miteinander multiplizierbar sind. Aber wie verfährt man jetzt?
 




Man geht am besten nach dem Falk-Schema vor, welches hier beispielhaft an den Matrizen A und B gezeigt werden soll. Wir zeichnen ein Kreuz und tragen die Matrix A unten links ein, hier in gelb markiert. Matrix B wird oben rechts eingetragen, hier in blau unterlegt.


Das Matrixprodukt wird nun unten rechts eingetragen. Wir setzen zunächst die Variablen a, b, c und d für die Elemente des Matrixprodukts ein, um auf deren exakte Werte im weiteren Verlauf genauer einzugehen.
 

Beispiel 1c


Gesucht ist also eine (2,2)-Matrix, die hier grün dargestellt ist. Für dessen Elemente müssen wir das Skalarprodukt der jeweiligen Zeile der Matrix A und der jeweiligen Spalte der Matrix B bestimmen. Für das Element a sieht das folgendermaßen aus:

Beispiel 1d

Die Berechnung der anderen Elemente b, c und d erfolgt auf identische Weise.
 

Beispiel 1e


Wir erhalten für unser Falk-Schema also folgende Zahlenwerte:
 

Beispiel 1f


Demnach ergibt die Multiplikation der Matrizen A und B folgendes Matrixprodukt:

Beispiel 1g


Was versteht man unter einer Matrix
Wie kann man zwei Matrizen addieren oder voneinander subtrahieren?
Was ist die Inverse einer Matrix und wie bilde ich sie?

Wie ist die Zeilenstufenform definiert und wie wird sie gebildet?

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