hebbare Definitionslücke
Eine Definitionslücke ist eine Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist.
Eine Definitionslücke, ist wie der name schon sagt ein lücke im Definitionsbereich der Funktion. Sie treten meistens bei gebrochenrationalen Funktion auf, wo an einer Stelle der Nenner Null wird und da man durch Null nicht teilen darf, entsteht dort ein „lücke“. Diese lücke kann hebbar sein oder eine Polstelle. Eine Polstelle ist auch eine nicht definierte Stelle des Graphen. Im Unterschied zur lücke ist die Polstelle ein senkrechte Asymptote im Graphen.
Eine gebrochenrationale Funktion hat genau dann eine Definitionslücke, wenn die rationale Funktion im Nenner eine Nullstelle hat.
Vorgehensweise
- Nullstellen des Nenners berechnen (= Definitionslücken bestimmen)
- Nullstellen des Zählers berechnen
- Prüfen, ob ein Pol vorliegt oder möglicherweise eine hebbare Definitionslücke
Wenn möglicherweise eine hebbare Definitionslücke vorliegt:
- Zähler und Nenner faktorisieren
- Bruch kürzen
- Prüfen, ob Pol oder hebbare Definitionslücke vorliegt
Kleiner Überblick
a) hebbare Definitionslücken: Es liegt eine hebbare Definitionslücke an der Stelle x0 vor, wenn die Vielfachheit der Nullstellen im Zählerpolynom größer oder gleich der Vielfachheit der Nullstellen im Nennerpolynom ist.
b) Polstellen: Es liegt eine Polstelle an der Stelle x0 vor, wenn die Vielfachheit der Nullstellen im Zählerpolynom kleiner ist als im Nennerpolynom.
Vorraussetzung: f(x)= (x-a)` / (x-a)k
Ist a eine k-fache Nullstelle des Nennerpolynoms und eine r-fache Nullstelle des Zählerpolynoms, so sind folgende Fälle möglich:
a) Wenn gilt, hat der Graph von f eine hebbare Definitionslücke.
b) Wenn gilt, schmiegt sich der Graph von f immer mehr an die Gerade mit der Gleichung x=a senkrecht zur x-Achse. Diese Gerade wird Polgerade von f genannt.
Ist r-k gerade, liegt an der Stelle a ein Pol ohne Vorzeichenwechsel vor.
Ist r-k ungerade, liegt an der Stelle a ein Pol mit Vorzeichenwechsel vor.
Merke: Stetig hebbare definitionslücken kannst du „herauskürzen“. Polstellen und Art der Polstelle findest du dann mit dem limes. Polstellen kann man NICHT „herauskürzen“
Beispiel
Gegeben sei die gebrochenrationale Funktion ( x + 1 ) : ( x2 – x – 12 ). Zunächst setzen wir den Zähler gleich Null. Dabei erhalten wir x1 = -1. Auch den Nenner setzen wir gleich Null. Mit der PQ-Formel erhalten wir x2 = -3 und x3 =4. Da die Werte verschieden sind liegt für x1 = -1 eine Nullstelle vor. Und x2 = -3 und x3 = 4 sind die Pole der Funktion.
