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Grenzwerte (Verhalten im Unendlichen)

Unter dem Grenzwert einer Funktion, auch Limes genannt, versteht man das Verhalten der y-Werte gegen einen bestimmten Wert von x. Meist ist hier das Verhalten im unendlichen Bereich von Interesse, man kann x aber auch gegen andere Werte laufen lassen. Lässt man die Funktion f(x) gegen a laufen, lautet die Schreibweise:


Man spricht "Limes von f(x) für x gegen a".

Beispiel 1

Die Funktion f(x) = x2 + 3 soll auf das Verhalten gegen plus und minus unendlich untersucht werden.

a) Verhalten gegen plus unendlich

Es ist oft hilfreich eine Wertetabelle zu erstellen und immer größere Werte für x zu betrachten. Wir schreiten hier in Zehnerpotenzschritten voran.

Man sieht schnell, dass aus immer größeren x-Werten immer größere y-Werte resultieren. Somit können wir für den Grenzwert sagen:

b) Verhalten gegen minus unendlich

Wir erstellen wieder eine Wertetabelle.

Aus immer kleineren x-Werten resultieren immer größere y-Werte. Somit können wir für den Grenzwert sagen:

Beispiel 2

Die Funktion f(x) = x3 + 2x soll auf das Verhalten gegen plus und minus unendlich untersucht werden.

a) Verhalten gegen plus unendlich

Wertetabelle erstellen:

Aus immer größeren x-Werten resultieren immer größere y-Werte. Somit können wir für den Grenzwert sagen:

b) Verhalten gegen minus unendlich

Wertetabelle erstellen:

Aus immer kleineren x-Werten resultieren immer kleinere y-Werte. Somit können wir für den Grenzwert sagen:


Unser Lernvideo zu : Grenzwerte (Verhalten im Unendlichen)



Tipps

Für ganzrationale Funktionen lässt das Grenzverhalten auch ohne Wertetabelle bestimmen. Je höher der Exponent einer Potenz von x, desto schneller auch dessen Wachstum. Demnach überwiegt im Unendlichen der Term, der die Potenz mit dem höchsten Exponenten enthält.

Beispiel 3

Die folgende Funktion soll auf das Verhalten gegen plus und minus unendlich untersucht werden.

f(x) = x4 + 5x3 - 2x

Der erste Term x4 besitzt mit 4 den höchsten Exponenten und erhält keinen weiteren Faktor. Demnach können wir davon ausgehen, dass das Verhalten dieser Funktion gegen plus und minus unendlich dem Verhalten der Funktion f(x) = x4 entspricht. Da der Exponent eine gerade Zahl ist, liegt der Grenzwert der Funktion sowohl für x→+ als auch für x→- bei +.

Beispiel 4

Die folgende Funktion soll auf das Verhalten gegen plus und minus unendlich untersucht werden.

f(x) = x2 + 2x5 - 7

Der zweite Term 2x5 besitzt mit 5 den höchsten Exponenten und erhält als weiteren Faktor 2. Demnach können wir davon ausgehen, dass das Verhalten dieser Funktion gegen plus und minus unendlich dem Verhalten der Funktion f(x) = 2x5 entspricht. Da der Exponent ungerade und der Faktor vor der Potenz positiv ist, liegt der Grenzwert der Funktion für x→+ bei +und für x→- bei -.

Beispiel 5

Die folgende Funktion soll auf das Verhalten gegen plus und minus unendlich untersucht werden.

f(x) = -4x3 - x2  + 5x

Der erste Term -4x3 besitzt mit 3 den höchsten Exponenten und erhält als weiteren Faktor -4. Demnach können wir davon ausgehen, dass das Verhalten dieser Funktion gegen plus und minus unendlich dem Verhalten der Funktion f(x) = -4x3 entspricht. Da der Exponent ungerade und der Faktor vor der Potenz negativ ist, liegt der Grenzwert der Funktion für x→+ bei -und für x→- bei +.

 

Leitpfaden

Baumdiagramm

Hinweis: Der Leitpfaden gilt nur für ganzrationale Funktionen!


Hier wird die Nullstellenberechnung für Funktionen 1. bis 3. Grades gezeigt.
Hier wird das Substitutions- sowie Näherungsverfahren für die Nullstellenberechnung erklärt.
Hier wird das Verfahren zur Bestimmung von Extremwerten erläutert.
Hier wird die Bestimmung der Wendepunkte sowie der dazugehörigen Wendetangente erläutert.
Hier wird die Definitionsmenge, auch Definitionsbereich genannt, näher erläutert.

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