ungerade Funktionen berechnen
Eine reelle Funktion ist ungerade, wenn ihr Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Koordinatenurspung ist
Prüfe also für jede der angegebenen Funktionen, ob f (- x) = f (x) gilt oder oder ob f (- x) = – f (x) gilt. Gilt beides nicht, dann ist die Funktion weder gerade noch ungerade.
Eine (Polynom)Funktion ist ungerade, wenn alle Exponenten ungerade sind.
Eigenschaften
♦Jedes Vielfache einer geraden bzw. ungeraden Funktion ist wieder gerade bzw. ungerade.
♦Die Summe zweier ungerader Funktionen ist wieder ungerade.
♦Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Funktion ist ungerade
♦Der Quotient einer geraden und einer ungeraden Funktion ist ungerade
Unser Lernvideo zu : ungerade Funktionen berechnen
Beispiele
♦Vorzeichenfunktion f(x)= sgn(x)
♦identische Fuktionen f(x)= x
♦kubische Funktion f(x)= x3
♦Sinusfunktion f(x)= sin(x)
♦Tangensfunktion f(x)= tan(x)
♦Gaußsche Fehlerfunktion f(x)= erf(x)
♦Die einzige Funktion, die gleichzeitig gerade und ungerade ist, ist die Nullfunktion f(x)= 0
►Eine Funktion y = f (x) ist ungerade, wenn der Graph einer ungeraden Funktion ist. Das bedeutet: Die Funktionskurve wird durch eine Drehung um 180˚um den Koordinatenursprung nicht verändert. Bei dieser Drehung geht die rechte Seite einer Kurve in die linke über und die linke in die rechte.
►Wenn ein Funktionsgraph einen Punkt (x, f(x)) enthält, dann enthält er auch den Punkt (-x, -f(x)). Der Definitionsbereich einer ungeraden Funktion ist also symmetrisch zum Ursprung.
Merke: Bei einer ungeraden Funktion werden alle Pluszeichen zu Minuszeichen und alle Minuszeichen zu Pluszeichen umgewandelt
Beispiel Rechnung
Wir wollen nun beweisen, dass es sich hier um eine ungerade Funktion handelt
f(x)= x3-4x
f(x)= – (-x)3-4 (-x)
→ -x3 +4x
→-(x3-4x)
→-f(x)
ist n ungerade, so ist die n-te Potenz von (-x) gleich dem Negativen der n-ten Potenz von +(x)
(-x)3= (-x) * (-x) * (-x) = -x3 Lösung
Beispiel 2
f(x) = x3+x
→ f(x) = f(-x)= ( -x3) + (-x)
→ -x3-x
→ f(-x)