Symmetrieverhalten
In der Geometrie spielt der Begriff Symmetrie eine wichtige Rolle bei der Betrachtung von eindimensionalen, zweidimensionalen und dreidimensionalen Objekten. Ein Objekt heißt symmetrisch, wenn es durch Bewegungen (z.B. Spiegelung, Drehung oder Verschiebung) auf sich selbst abgebildet werden kann.
Kombination
Es gibt 6 verschiedene Kombinationsmöglichkeiten die du wissen solltest!
Aus der Möglichkeit, Symmetrieoperationen zu kombinieren, lassen sich die symmetrischen Grundoperationen herleiten:
- Identität (Null-Operation, keine Veränderung)
- Rotation (Drehung)
- Rotation – Inversion (Drehspiegelung)
- Translation (Verschiebung)
- Gleitspiegelung
- Schraubung
Eine Figur oder ein Körper heißt symmetrisch, wenn sie bei einer Bewegung auf sich selbst abgebildet werden kann. Man unterscheidet drei Arten von Symmetrien
- Wird die Figur bei einer Geradenspiegelung an der Symmetrieachse (Spiegelachse) auf sich selbst abgebildet, ist sie axial- bzw.achsensymmetrisch. Beispiel: gleichseitiges Dreieck oder gleichschenkliges Trapez
- Wird die Figur bzw. der Körper bei einer Punktspiegelung an einem Punkt Z, dem Symmetriezentrum, auf sich selbst abgebildet, ist sie bzw. er zentral- bzw. punktsymmetrisch. Beispiel: sich schneidende Geraden oder Parallelogramm
- Wird die Figur bei einer Drehung um einen Punkt D mit dem Drehwinkel α auf sich selbst abgebildet, nennt man sie rotations-, radial- oder drehsymmetrisch. Die Drehung eines dreidimensionalen Körpers erfolgt immer um eine Drehachse (Rotationsachse), aber auch dann spricht man von Drehsymmetrie mit einem gewissen Drehwinkel α. Beispiel: Quadrat oder sechseck
Bestimmung des Symmetrieverhaltens
Folgende Bedingung gibt es
- Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn gilt f (x) = f (-x)
- Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn gilt f (x) = –f (-x)
Beispiele
Bedingung für Achsensymmetrie lautet: f(x) = f(-x)
Beispiel:
x3 + 2x ≠ –x3 – 2x
f(x) ≠ f(-x)
Keine achsensymmetrie vorhanden!
Bedingung für Punktsymmetrie lautet f(x) = –f(-x)
Um –f(-x) zu erhalten, multiplizieren wir f(-x) aus dem ersten Schritt mit (-1).
–f(-x) = f(-x) ⋅ (-1) = (-x3 – 2x) ⋅ (-1) = x3 + 2x
daraus folgt,
x3 + 2x = x3 + 2x
f(x) = –f(-x)
punktsymmetrie liegt vor!