mathe-lerntipps.de  ⇒ Mathe Klasse 5  ⇒ Geometrie  ⇒ Symmetrie zur Y-Achse

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Symmetrie zur Y-Achse

Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn gilt f(-x)=f(x)

 

Vorgehensweise

1) −x in die Funktion einsetzen

2) Prüfe, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich f(x) ist

 

Beispiel  f(x)= x2

1) -x in die Funktion einsetzen   f(-x)= (-x)2 = x2

→Da das Exponent gerade ist, fällt das negative Vorzeichen weg!

2) Püfe, ob das Ergebnis aus 1 gleich f(x) ist   f(-x)= x2 = f(x)

→Funktion ist achsensymmetrisch zur Y-Achse!

 

 

 

♦Eine geometrische Figur heißt achsensymmetrisch, wenn sie durch Umklappen um eine Gerade a (die Symmetrieachse) mit sich selbst zur Deckung gebracht werden kann.

 

 

Eigenschaften

  • Die Strecke wird durch die Symmetrieachse senkrecht halbiert.

  • Zueinander achsensymmetrische Winkel sind gleich groß, aber entgegengesetzt orientiert.

  • Zueinander achsensymmetrische Strecken sind gleich lang.

  • Zueinander achsensymmetrische Kreise haben den gleichen Radius.

  • Geraden werden auf Geraden und Kreis auf Kreis abgebildet.


Ohne zu Rechnen die Symmetrieart bestimmen

Man kann die Symmetrieart auch ohne zu rechnen bestimmen. Der Trick besteht darin, dass du die Exponenten dir genau anguckst.

Merke: Sind im Funktionsterm alle Potenzen von x gerade, so ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse

Beispiel  10x2-5x6     ⇒ Exponent gerade also Achsensymmetrie


 

Was heißt achsensymmetrisch und kongruent? 

Eine Figur heißt achsensymmetrisch, falls man sie in zwei Teile zerlegen kann und diese sich exakt überdecken.

♦Die beiden Hälften sind dann kongruent zueinander.

♦Die Gerade durch die die Figur geteilt wird, heißt Symmetrieachse.

♦Die Symmetrieachse kann dabei waagrecht, senkrecht oder diagonal durch die Figur verlaufen.

♦Es kann auch mehr als eine Symmetriachse geben

→bei der achsensymmetrie muss du beachten, dass du nur im positiven koordinatenachsen spiegelst


Beispiele für Achsensymmetrie
♦Ein Quadrat hat genau 4 Symmetrieachsen. Ein Rechteck hat dagegen nur 2 Symmetrieachsen.
♦Der Kreis oder eine Gerade haben unendlich viele Symmetrieachsen
♦Auch dreidimensionale Objekte wie der Kreisoder ein Zylinder sind achsensymmetrisch

 

Achsensymmetrie zur y-Achse

Typische Beispiele für achsensymmetrische Funktionen sind jene Funktionen 4. Grades, bei denen man die Substitution anwenden kann. Kennzeichnend für eine Funktion, die achsensymmetrisch zur y- Achse ist, ist die Tatsache, dass der Funktionswert bei -x der gleiche ist wie der bei x.

f(-x) = f(x)

Beispiel : f(x) = x4 - 4x2 +25 :

f(-x) = (-x)4 -4(-x)2 +25 = x4 - 4x2 +25 = f(x)

 

Man sieht,dass die Bedingung f(x) = f(-x) genau dann gilt, wenn der Funktionsterm nur gerade Potenzen enthält.

 

Beispiel

f(x) = 6x4-5x2-1

f(-x) = 6( -x)4 -5(-x) -1

f(-x)= 6x4-5x2-1 = f(x)             Achsensymmetrie zur Y-Achse!


Geometrische Formen wie Kreise, Dreiecke und Vierecke werden in diesem Punkt ausführlich erläutert
In diesem Kapitel werden einige Grundbegriffe der Geometrie wie Winkel, Parallel, Gerade oder Strecke erklärt.
Hier erklären wir wie man die Abstände von Punkten oder Geraden ermittelt.
Hier wird erklärt, wie man Körper an einer Achse oder einem Punkt spiegelt.
Hier zeigen wir wie man Punkte oder Formen in ein Koordinatensystem einträgt.

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