Gleichschenkliges Dreieck

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten

•Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite heißt Basis

•Der der Basis gegenüberliegende Eckpunkt heißt Spitze

•Die an die Basis anliegenden Winkel heißen Basiswinkel

 

 

Dreieck

 

Grundwinkel und Spitze
Die zwei Winkel, die gleich groß sind, heißen die Grundwinkel. Der dritte Winkel heißt die Spitze. Auf der Zeichnung rechts sind A und B die Grundwinkel und C die Spitze.

 

Die Höhe

Die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks wird von der Höhe des Dreiecks in zwei gleichgroßen Winkeln geteilt, weil die Höhe auch die Grundlinie in zwei gleichlangen Linien teilt, ist sie sowohl eine Winkelhalbierende als eine Seitenhalbierende.


Eigenschaften

♦Es besitzt 1 Symmetrieachse, also 1-fach achsensymmetrisch. 

♦Es besitzt keinen Symmetriepunkt.

♦Die Winkel, welche den Schenkeln gegenüberliegen sind gleich groß.

♦Zwei Seiten (Schenkel) sind gleichlang

♦Die Winkel an der Grundseite (Basis) sind gleich groß

 

Ein gleichschenkliges Dreieck ist eine achsensymmetrische Figur

Das bedeutet :Spiegelt man das Dreieck an seiner Symmetrieachse s, so wird das Dreieck auf sich selbst abgebildet.

 

Formel

 

Flächeninhalt:

A = a2 : 4 · √3

oder Fläche A:
A = a · ha : 2
A = 0,5 · ha · a

Umfang:

U = 3 · a

a = U : 3

h = a : 2 · √3

Mathematische Einteilung der gleichschenkligen Dreiecke:

  • gleichschenklig, spitzwinkliges Dreieck
  • gleichschenklig, rechtwinkliges Dreieck
  • gleichschenklig, stumpfwinkliges Dreieck

Die Größen der gleichschenkligen Dreiecke auf einen Blick

h …    Die Höhe zerlegt das Dreieck in zwei gleich große, kongruente Dreiecke.
Warum sind die Dreiecke gleich groß? Ganz einfach, der rechte Winkel an der Höhe und die Höhe, die sich beide Dreiecke teilen, sind schließlich gleich. Hier nehmen wir nochmals Bezug auf den vierten Kongruenzsatz.

R  …    Wir haben wir es mit dem Radius vom Umkreis zu tun. Mit einem kleinen r bezeichnen wir den Radius vom Innenkreis. Ausgehend von dem Mittelpunkt des Kreises lassen sich alle Koordinaten bestimmen. So sollte der Mittelpunkt M direkt auf der Mittelsenkrechte liegen.

Basiswinkelsatz

Die Winkel, die bei einem gleichschenkligen Dreieck an den gleichlangen Seiten liegen, sind auch gleich groß. Wir sprechen von den Basiswinkeln.

Im Gegenzug kann man davon ausgehen, dass ein Dreieck mit zwei gleich großen Winkeln auch ein gleichschenkliges Dreieck ist. Oftmals treffen wir auf im Zusammenhang mit dem Basiswinkelsatz auf die Eselsbrücke.

Praktisch: Sind zwei unterschiedlich lange Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks gegeben, ist die Länge der dritten Seite schon festgelegt. Außerdem habt ihr die Möglichkeit, über den Kosinussatz, die Winkel zu berechnen. So brauchen wir eigentlich nur einen einzigen Winkel, um alle anderen Winkel folgerichtig berechnen zu können.
Unsere gleichschenkligen Dreiecke sind auch achsensymmetrisch. So liegen hier viele ausgezeichnete Punkte direkt auf der Symmetrieachse, was das Berechnen und Zeichnen dieses Dreiecks erleichtert.

Es war vor vielen Jahren Euklid, der zum ersten Mal eine Definition entwarf und ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei gleichen Seiten in Verbindung brachte. Heute gehen die modernen Definitionen einen Schritt weiter und definieren das gleichseitige Dreieck als eine der Untergruppierungen und Spezialfällen der gleichschenkligen Dreiecke.

Wo finde ich die Formeln zur Berechnung der Größen?

Bei den oben genannten Winkeln können wir euch schon jetzt beruhigen, denn diese findet ihr allesamt im Tafelwerk. Wir raten euch dennoch dazu, euch vorab einen genauen Überblick über die Größen, die Winkel und die Gesetzmäßigkeiten der Geometrie und der gleichschenkligen Dreiecke zu verschaffen. Andernfalls kommt ihr bei dem nächsten Mathe Test schnell ins Trudeln.