Gerade Funktionen berechnen

Eine reelle Funktion ist genau dann gerade, wenn der Funktionsgraph achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

Das heißt:

  • Argumente, die sich lediglich in ihrem Vorzeichen unterscheiden, besitzen den gleichen Funktionswert.
  • Punkte des Graphen, deren Abszissen lediglich entgegengesetztes Vorzeichen besitzen, haben die gleiche Ordinate.

Eigenschaften

♦Die Summe zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.

♦Das Produkt zweier ungerader Funktionen ist gerade.

♦Der Quotient zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.

♦Der Quotient zweier ungerader Funktionen ist gerade

Unser Lernvideo zu : Gerade Funktionen berechnen


Beispiele

♦konstante Funktion f(x) = 1

♦Betragsfunktion f(x)= lxl

♦Normalparabel f(x)=x2

♦Kosinusfunktion f(x)=cos(x)

♦Sekansfunktion f(x)= sec(x)

►Eine Funktion y = f (x) ist gerade, wenn der Graph einer geraden Funktion ist

►Die Funktionskurve ändert sich nicht bei Spiegelung an der y-Achse. Das bedeutet: Wenn ein Funktionsgraph einen Punkt (x, f(x)) enthält, dann enthält er auch den Punkt (-x, f(x)). Der Definitionsbereich einer geraden Funktion ist also symmetrisch zum Ursprung.

Wichtig! Merke!

♦Was lässt sich über die Summe von zwei geraden Funktionen sagen?

Voraussetzung: f, g gerade

Behauptung: f + g ist gerade

Beweis: zu zeigen: (f+g)(-x) = (f+g);

(f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x); also (f + g)(-x) = (f+g)(x).


Was gilt, wenn eine Funktion zugleich gerade und ungerade ist?

Voraussetzung f sowohl gerade als auch ungerade

Behauptung: Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt f(x)=0.

Beweis:         f(x)= f(-x)= -f(x),

also f(x)= -f(x)

und somit f(x)= 0

Beispiel 

Wir wollen nun zeigen ob die Funktion (hier konstante Funktion) gerade oder ungerade ist

f(x) = 2

Die Funktion ist kontant =2

Bei einer konstanten Funktion, also einer Funktion, deren Funktionsterm nur aus einer Konstanten besteht, gilt das immer, denn dann gilt f ( x ) = c = f ( – x )

In unserem Beispiel ist f(x) = 2 = f (- x).  Also ist f (x) = 2 eine gerade Funktion

Am Schaubild erkennt man gerade Funktionen daran, dass sie achsensymmetrisch zur y-Achse sind.

Die Funktion f (x) = 2 ist also nicht ungerade, denn es gilt:  f ( – x ) = 2 <> – 2 = – f ( x )