Umkehrregel bei Ableitungen

Eine Umkehrfunktion ist die Antwort auf die Frage: „Wie lautet das Argument der Funktion, wenn ich den Funktionswert kenne?“

Sie ist nur dann definiert, auf denen die Zuordnung der Funktion in beide Richtungen eindeutig ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Funktion streng monoton (steigend oder fallend) ist.

Beim Bilden der Umkehrfunktion f −1(x) werden Argument und Funktionswert – also x und y – in der Funktionsgleichung vertauscht. Geometrisch ist die Umkehrfunktion f −1(x) die Spiegelung der Funktion f(x) an der Winkelhalbierenden y=x.

Funktion


Die Ableitung der Umkehrfunktion ist die Steigung der Tangente an die Umkehrfunktion. Diese Tangente entsteht aber zwangsläufig auch nur dadurch, dass man die Tangente an f an der Winkelhalbierenden spiegelt.

Die Funktion f sei auf dem Intervall I streng monoton und stetig, so dass auf dem Intervall f(I) die Umkehrfunktion g existiert. In g(x) sei die Ableitung von f vorhanden und ungleich Null. Dann gilt:  g'(x) = 1 / f ‚(g(x))

Merke: Der Nenner – also f'(x) – darf nicht Null werden. Darüber hinaus muss die Funktion überhaupt umkehrbar sein!


Vorgehensweise:

►Wir schreiben uns y = f(x) auf

►Ableitung von f(x) und erhalt von  y‘ = f'(x)

►f(x) nach x umstellen

►in die Gleichung f'(x) einsetzen

►den Ausdruck von f'(x) durch y ersetzen

►Vertausch von x und y

Wir wollen nun ein Beispiel dazu berechnen

Unsere Funktion lautet: y=f(x)= ex

y=f(x)= ex                                 ⇒ Funktion

y`=f(x)=ex                                 ⇒ 1. Ableitung

x= ln(y)                            ⇒ mit logarithmus nach x aufgelöst. Logarithmus auf beiden Seiten anwenden!

g`(y)=1/ f`(x) = 1/ex               ⇒ Für f`(x) setzen wir ex ein

g`(y)=1/y                          ⇒ Für ex setzen wir y ein

g`(x)=1/x                          ⇒ x und y vertauschen. Damit erhalten wir die Umkehrfunktion!