Potenzregel bei Ableitungen

Mit Potenzen drückt man aus, dass eine Zahl mehrere Male mit sich selbst multipliziert wird. Die Potenzregeln, auch Potenzgesetze genannt, sind grundlegend und kommen häufig vor.

Merke 

  • Wende die Regeln an.
  • Konstanten fallen weg.

Faktoren bleiben stehen und eine Potenz leitet man ab, in dem man den Exponenten mit den Koeffizienten multipliziert und danach vom Exponenten Eins abzieht.

Wichtige Eigenschaften von Potenzfunktionen: Definitionsbereich Wertebereich, Symmetrie, etc.. sind vom Exponenten n abhängig.

  • Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form  f(x)=a⋅xn  wobei a und n (der Exponent) reelle Zahl sind.
  • Die Ableitung einer Potenzfuntkion mit ganzzahligem Exponenten wird durch die folgende Potenzregel bestimmt:  f′(x)=naxn-1
  • Die Ableitungsfunktion einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten ist also gleich derselben Potenzfunktion, aber mit einem Exponenten n−1 der um 1 kleiner ist als der Exponent n der Ausgangsfunktion. Hinzu kommt noch die Multiplikation mit n.

Rechenregeln die du Wissen solltest

Spezialfall: Exponent ist Null  ⇒ a0=1    Merken!

Negativer Exponent ⇒ a-n = 1/an

Multiplikation und Division

anam= an+m  Werden zwei Potenzen mit gleicher Basis multipliziert (dividiert), so werden ihre Exponenten addiert (subtrahiert).

an: am= an-m 

►Werden zwei Potenzen mit gleichem Exponent multipliziert (dividiert), so werden die Basen miteinander multipliziert (durcheinander dividiert) und der Exponent beibehalten.

anbn =( ab)n 

an:bn= (a/b)n

mehrfach Exponenten

(an)m = anm  ►Wird eine Basis mit mehreren Exponenten potenziert, so entspricht dies einem Exponenten, der gleich dem Produkt der einzelnen Exponenten ist


Die Potezregel besagt

f(x)=xn → f`(x)=n*xn-1

Vorgehensweise beim Ableiten

►Aufgabenstellung in der Form y = … aufschreiben

►Schreibt darunter y‘ ( Ableitungszeichen)

►Schreibt den Exponent von x hinter y‘ =

►Schreibt dann das x hin

►Der Exponent für die Ableitung wird um eins reduziert.

►Der Faktor bleibt erhalten

Beispiele

f(x)= x2a  ⇒ f`(x)= 2a*a2a-1

f(x)=xa+b  ⇒ f`(x)= (a+b)*xa+b-1

f(x)=x1    ⇒ f`(x)=1

x4k-s ⇒ f`(x)= (4k-s)*x4k-s-1

f(x)= x-(n+1) ⇒ -(n+1)*x-n+2

f(x) = x79   => f'(x) = 79 * x79-1 = 79 * x78

f(x) = 3 * x100    => f'(x) = 3 * (x100)‘ = 3 * 100 * x100-1 = 300 * x99

f(x)= 3x2+4x            =>f`(x)=6x+4